每经编辑｜阳枫    

当地时间2025-11-02,mjwysadhwejkrbdsfjhbsdvf,凌缛凄幼稚园

“太(tai)深了(le)！这(zhe)道(dao)题简直(zhi)太深了！”

教室里，传(chuan)来一阵(zhen)压抑(yi)不住(zhu)的哭(ku)腔，打破了(le)原本(ben)还算平静的(de)课(ke)堂气氛。所有人(ren)的(de)目(mu)光(guang)瞬(shun)间聚焦(jiao)在讲台(tai)中央(yang)。数学课(ke)代表小(xiao)雅，那个平时(shi)总是自信满(man)满、成(cheng)绩名列(lie)前(qian)茅(mao)的(de)女孩(hai)，此(ci)刻却两(liang)眼含泪(lei)，肩(jian)膀微(wei)微颤(chan)抖，手(shou)中(zhong)紧握的粉笔(bi)头在(zai)讲(jiang)台(tai)上(shang)留下一(yi)道道(dao)白(bai)色的痕迹，仿(fang)佛是她(ta)内(nei)心无助(zhu)的宣(xuan)泄(xie)。

“这……这(zhe)题到(dao)底怎么做啊(a)？”她(ta)哽咽(yan)着，声音带着(zhe)一(yi)丝绝(jue)望，“我(wo)……我尝(chang)试了(le)所(suo)有我能想到(dao)的方(fang)法，代(dai)数法(fa)、几何法(fa)、甚至……甚(shen)至(zhi)我(wo)还试着画了图，但……它(ta)就像一个无(wu)底(di)洞，我(wo)怎(zen)么也(ye)找(zhao)不到出口(kou)！”

空气(qi)中弥(mi)漫(man)着一种(zhong)难以言喻的尴尬与(yu)震惊。任(ren)课(ke)老(lao)师，一位(wei)经验(yan)丰(feng)富、素来(lai)以(yi)沉(chen)稳(wen)著称的(de)老教授，此(ci)刻也(ye)皱起(qi)了眉头，眼神(shen)中流露出几(ji)分诧异。他缓(huan)步(bu)走到(dao)小(xiao)雅(ya)身边，轻轻拍了拍她(ta)的肩(jian)膀，温声说道：“小雅，别(bie)急，我(wo)们一(yi)起想想(xiang)办法。”

即(ji)便是老教(jiao)授，在审视(shi)了(le)黑板(ban)上(shang)那(na)道题目后，也(ye)忍不(bu)住发出(chu)一(yi)声轻微(wei)的(de)叹息(xi)。这道(dao)题(ti)，确实(shi)不(bu)寻常(chang)。它并(bing)非课本上(shang)常见的(de)例题，也(ye)不是(shi)老师平时(shi)留(liu)下的练(lian)习题(ti)，而是(shi)他从(cong)一(yi)本(ben)国外数(shu)学(xue)竞赛的题(ti)目(mu)集(ji)里挑选(xuan)出来的，旨在挑(tiao)战学生(sheng)的思(si)维极限，激(ji)发他们对(dui)数学(xue)更深(shen)层次(ci)的(de)探(tan)索。

题目本(ben)身(shen)以其(qi)简(jian)洁的文字和看(kan)似朴素(su)的(de)表述(shu)，隐藏着(zhe)一(yi)个(ge)极其复杂的数(shu)学(xue)结构，它要(yao)求的不(bu)只(zhi)是(shi)熟(shu)练的(de)公式(shi)运用(yong)，更需(xu)要(yao)非(fei)凡的(de)洞察(cha)力(li)和创造(zao)性的解(jie)题思路(lu)。

“这道(dao)题……它的条件似乎很(hen)有限(xian)，但它(ta)所蕴含(han)的(de)数学(xue)关系(xi)却错综(zong)复(fu)杂。”一(yi)位(wei)平(ping)时沉默寡(gua)言的同学低声说道(dao)，“我感(gan)觉它像一(yi)个(ge)迷宫(gong)，每(mei)条路(lu)都通(tong)向(xiang)更深的未知(zhi)。”

“是啊，我感(gan)觉我(wo)的脑(nao)子都(dou)快要炸(zha)了(le)。”另一(yi)位同(tong)学揉(rou)着太阳穴(xue)，脸(lian)上写满(man)了(le)疲惫，“我(wo)甚至开始(shi)怀疑自己的数(shu)学(xue)能力了(le)，是不(bu)是我根(gen)本(ben)就没(mei)有这(zhe)方(fang)面(mian)的天赋(fu)？”

一时间(jian)，教室里(li)议(yi)论(lun)纷纷，各种猜测、惊(jing)叹(tan)、甚(shen)至还(hai)有些(xie)许自(zi)我怀(huai)疑的声音(yin)交织(zhi)在一起(qi)。平(ping)日里，数(shu)学(xue)课总是按部就(jiu)班，知(zhi)识点的(de)讲(jiang)解、例题的(de)分(fen)析(xi)、习题(ti)的巩固，一(yi)切似(shi)乎都在(zai)掌(zhang)控之(zhi)中。而(er)现在(zai)，一道(dao)突(tu)如其来(lai)的难题，如同(tong)一(yi)块巨石投入平静的湖(hu)面(mian)，激起(qi)了层层(ceng)涟漪，甚(shen)至让(rang)一(yi)些学生(sheng)感到了前所未有的(de)压(ya)力和挫(cuo)败(bai)感(gan)。

小雅的眼(yan)泪并没有(you)因为(wei)老师的安慰(wei)而(er)停止，反(fan)而(er)越流(liu)越凶(xiong)。她是(shi)一名(ming)优秀(xiu)的数学课(ke)代表(biao)，肩负(fu)着同(tong)学们(men)的信任和(he)老(lao)师的(de)期(qi)望。她(ta)习惯(guan)了成为(wei)解(jie)答者(zhe)，习惯(guan)了带(dai)领(ling)同学们攻(gong)克(ke)难关。而(er)此刻，她(ta)自己却被(bei)一道(dao)难题(ti)深(shen)深(shen)地绊(ban)住，这(zhe)种无力感(gan)，对(dui)她来说无(wu)疑是一种(zhong)巨大的(de)打击(ji)。

“我(wo)……我让大(da)家(jia)失(shi)望(wang)了。”她抽(chou)泣着(zhe)，声(sheng)音更(geng)加(jia)沙哑。

“不，小(xiao)雅，你(ni)没有(you)。”老(lao)教授温(wen)和地打断(duan)了她(ta)，“你敢于(yu)面对难题，敢(gan)于承认自(zi)己的困惑(huo)，这本(ben)身就(jiu)是(shi)一种勇(yong)敢。你看，你(ni)哭泣的(de)样(yang)子，也让大(da)家看(kan)到了数学(xue)的另(ling)一面——它(ta)不(bu)是冷冰冰的公(gong)式，它(ta)也(ye)会(hui)让人(ren)感到兴奋(fen)、痛(tong)苦(ku)，但最(zui)终，也能带(dai)来巨大(da)的成就(jiu)感(gan)。”

他(ta)转向(xiang)全(quan)班同(tong)学(xue)，朗声说道：“同学(xue)们(men)，我(wo)们今(jin)天遇(yu)到(dao)了(le)一道(dao)非常有挑战(zhan)性(xing)的题(ti)目。这道题(ti)目，不(bu)仅仅是对(dui)我们知(zhi)识储备的考验(yan)，更是对(dui)我们(men)思维(wei)能力(li)、解决问题能(neng)力的一(yi)次(ci)深(shen)度淬炼。小(xiao)雅(ya)刚(gang)才的(de)反应，也恰恰说明了(le)这(zhe)道(dao)题的(de)难度和它带(dai)给(gei)我们的冲击(ji)。但(dan)请大(da)家(jia)记(ji)住，真(zhen)正的学(xue)习，往(wang)往(wang)就发生(sheng)在这(zhe)样(yang)的‘卡(ka)点(dian)’和‘难点(dian)’之中(zhong)。

”

教室(shi)里的(de)气氛，在(zai)老师的一番话(hua)后，发生了一些微妙的(de)变化。同(tong)学们不再只(zhi)是被(bei)动地(di)感受压力，而是(shi)开(kai)始(shi)尝试理解(jie)这(zhe)道题的(de)意义(yi)。他们看到了课(ke)代(dai)表(biao)的崩(beng)溃，也听(ting)到了老师的(de)鼓励(li)。这(zhe)种集(ji)体(ti)性的挑(tiao)战，让(rang)他(ta)们意识到，自己(ji)并非(fei)孤军奋战(zhan)。

“教授，这(zhe)道题到底有(you)多难？它为(wei)什么这么(me)‘深’？”一(yi)位平(ping)时对(dui)数(shu)学(xue)充满好(hao)奇(qi)的学(xue)生举手问(wen)道。

老(lao)教授笑了(le)笑(xiao)：“‘深(shen)’，是因为(wei)它(ta)触及(ji)到了(le)数学的本质。它不(bu)是简单(dan)地套(tao)用公(gong)式(shi)，而(er)是需(xu)要(yao)你对(dui)数(shu)学概念(nian)有深刻(ke)的理(li)解(jie)，并且能够灵活地(di)运用(yong)这些概(gai)念(nian)去(qu)构(gou)建新的解(jie)决方案。它(ta)需要(yao)我们(men)跳出固有(you)的思(si)维(wei)模(mo)式，用(yong)一种(zhong)全(quan)新的视角去(qu)审视问(wen)题(ti)。”

他继(ji)续说道(dao)：“这(zhe)道题(ti)，可能(neng)没有一个(ge)现成的公式可(ke)以直(zhi)接套用，它(ta)更像(xiang)是需(xu)要我(wo)们自己去(qu)‘创造(zao)’解题的工(gong)具。这(zhe)正是(shi)数学的魅力所在，它不仅(jin)仅(jin)是(shi)计(ji)算，更是(shi)创造。”

小雅也止(zhi)住了(le)哭泣(qi)，她(ta)抬(tai)起泪眼(yan)模糊(hu)的(de)脸，看(kan)着黑(hei)板上(shang)的题(ti)目(mu)，眼(yan)神中重新燃起了一(yi)丝(si)光(guang)芒。她(ta)知道(dao)，自己不(bu)能(neng)永(yong)远(yuan)被困(kun)在(zai)这里，她需要(yao)站起(qi)来，和(he)同学(xue)们(men)一(yi)起，去(qu)寻找(zhao)那条通往(wang)答(da)案的道(dao)路。

“我……我愿(yuan)意再试一次。”她深吸一口气，擦干眼(yan)泪，重(zhong)新拿(na)起了粉笔(bi)。

教室(shi)里，一种(zhong)不(bu)同于(yu)以(yi)往(wang)的(de)氛围在(zai)悄然滋生(sheng)。这(zhe)不是一(yi)个(ge)简单的(de)数(shu)学(xue)题(ti)解答过程，而(er)是一场关(guan)于挑战、关于(yu)勇(yong)气(qi)、关(guan)于智(zhi)慧(hui)的集体探索(suo)。每个(ge)人(ren)都(dou)在这(zhe)场“深(shen)不可(ke)测(ce)”的难题面前(qian)，重新(xin)审视(shi)着自己与(yu)数学的(de)关(guan)系。

“既(ji)然(ran)直接的解(jie)法(fa)行不通，那(na)我们(men)能不(bu)能(neng)换(huan)个角(jiao)度思(si)考？”

老教授的话(hua)，如同(tong)一盏(zhan)明灯(deng)，驱散(san)了笼(long)罩在(zai)教室里的(de)迷茫。同(tong)学们你一(yi)言(yan)我一语，将(jiang)刚(gang)才的(de)震(zhen)惊和(he)沮丧，转化为一(yi)股涌动(dong)的思考(kao)潮。黑(hei)板(ban)上的那道(dao)题，依然(ran)像一(yi)个难以(yi)征服(fu)的(de)山(shan)峰，但(dan)同学们(men)却不(bu)再畏(wei)惧，而(er)是开始认真地(di)观察它的每(mei)一(yi)处纹理，试图找(zhao)到(dao)攀(pan)登的(de)路径(jing)。

“教(jiao)授，我(wo)注(zhu)意(yi)到(dao)题目(mu)中提到了(le)几个(ge)关(guan)键的(de)量(liang)，它们之间(jian)是否(fou)存在(zai)某(mou)种(zhong)不(bu)显(xian)而(er)易见(jian)的关系(xi)？”一位善于从细节(jie)入(ru)手分析的(de)同学提(ti)出了(le)疑(yi)问。

“没错，很(hen)多复(fu)杂的数学(xue)问题，往往都(dou)隐藏在(zai)看似微不足道(dao)的细(xi)节之中。”老(lao)教授(shou)赞(zan)许地点(dian)了点头，“大(da)家可(ke)以(yi)尝试(shi)将(jiang)这些量(liang)进行转换，或(huo)者(zhe)寻(xun)找(zhao)它们之(zhi)间的比例、函数关系。有(you)时(shi)候，一(yi)个巧妙的变量(liang)替换，就能让问题豁(huo)然(ran)开朗。”

小(xiao)雅此刻(ke)已经完(wan)全(quan)投入到(dao)思考(kao)之中，她(ta)用粉笔在黑板上(shang)写下(xia)了(le)一(yi)些她(ta)尝试(shi)过的公(gong)式和(he)推(tui)导，虽然之(zhi)前(qian)都(dou)走进(jin)了(le)死胡(hu)同(tong)，但现在，她(ta)开(kai)始(shi)将(jiang)这(zhe)些“死胡同(tong)”视(shi)为一种信息(xi)，一种(zhong)排(pai)除的可(ke)能性。

“我(wo)之(zhi)前尝(chang)试(shi)用(yong)三角(jiao)函数(shu)来解决，但似乎(hu)与题目中的条(tiao)件不太匹配。但是，如(ru)果我们将题目(mu)中的某个(ge)几何图(tu)形进行(xing)适当的旋转或(huo)者变(bian)形，是(shi)否能让三(san)角(jiao)函数的应(ying)用(yong)更加(jia)顺畅(chang)呢？”她一边写(xie)一(yi)边自言(yan)自语(yu)，时(shi)不时(shi)地抬(tai)头看(kan)看黑(hei)板(ban)，眼中闪(shan)烁着智(zhi)慧(hui)的光(guang)芒。

“变形？这(zhe)倒是(shi)可以尝(chang)试！”同(tong)学(xue)们听到了(le)小(xiao)雅(ya)的思路，也纷纷(fen)来了(le)灵感。

“对了！我们(men)还可以考(kao)虑一下极限的(de)思想。”另一(yi)个同学突(tu)然(ran)说道，“如(ru)果我们(men)将(jiang)某个变量趋向(xiang)于无(wu)穷(qiong)大或(huo)者(zhe)无穷(qiong)小，会(hui)不会得(de)到(dao)一(yi)些特别的启(qi)发？就像(xiang)物理学(xue)中的一些模型(xing)，有时(shi)候会简(jian)化(hua)到一种‘理想状(zhuang)态’来(lai)分(fen)析。”

“极限(xian)……这个(ge)方(fang)向也很(hen)有(you)趣！”老教授适(shi)时(shi)地引导道(dao)，“数(shu)学的很(hen)多(duo)分(fen)支(zhi)，都是在(zai)极限的基础(chu)上发(fa)展起(qi)来的(de)。想想(xiang)看，我(wo)们有没(mei)有(you)可(ke)能(neng)通过构造(zao)一个(ge)序列，或者一个(ge)函数(shu)，来逼(bi)近我(wo)们想(xiang)要的(de)结果(guo)？”

课(ke)堂的讨论，逐(zhu)渐变(bian)得(de)热烈(lie)而(er)有序(xu)。不再是无头苍(cang)蝇般的乱(luan)撞，而是大(da)家围(wei)绕着一个核心(xin)问(wen)题(ti)，从不(bu)同的(de)角度(du)，提出各种(zhong)各样的假(jia)设和(he)猜(cai)想。有(you)的同学(xue)在尝试(shi)几何的(de)构造(zao)，有(you)的在(zai)探索代数(shu)的(de)转化，有的(de)则在思(si)考(kao)抽象的(de)数学概(gai)念。

“我感觉(jue)，这道题(ti)可(ke)能(neng)需(xu)要用到一(yi)些我(wo)们还(hai)没学(xue)过(guo)的知识(shi)，或(huo)者(zhe)是一些非(fei)常规的技巧。”一(yi)个平时数学基(ji)础稍显薄(bao)弱(ruo)的(de)学生(sheng)，带(dai)着一丝沮(ju)丧说道(dao)。

“不，不一定。”老教(jiao)授立(li)刻反驳道(dao)，“很(hen)多(duo)时(shi)候，‘难题’之所以难，不(bu)是因为(wei)我(wo)们缺(que)乏知识(shi)，而是因(yin)为(wei)我们(men)没有(you)学会如何(he)‘组合’已(yi)有的知识，如(ru)何‘融会贯(guan)通’。这(zhe)道题，可能(neng)只需要你(ni)将初中、高中(zhong)所(suo)学的(de)不同(tong)知(zhi)识点(dian)，用一种(zhong)全新(xin)的方(fang)式连接起来。”

他(ta)顿了顿，继(ji)续(xu)说(shuo)道：“比如说，你们(men)学(xue)过的勾股定(ding)理、相(xiang)似(shi)三(san)角形(xing)，以及一些(xie)基(ji)本(ben)的函(han)数(shu)性质，如(ru)果能(neng)够灵(ling)活运(yun)用，并且将其与(yu)题目中的某个特殊(shu)条件相结(jie)合，也(ye)许(xu)就能找到意(yi)想不到的(de)突破口。这就像(xiang)建(jian)造(zao)一座大厦，你需要不(bu)同的砖瓦、水泥，但更(geng)需要精巧的设(she)计和(he)建造的智(zhi)慧。

”

小(xiao)雅此(ci)刻的(de)脸上，已经(jing)没有(you)了之前(qian)的泪痕(hen)，取而(er)代之的是一种专(zhuan)注的神(shen)情。她(ta)时(shi)不(bu)时地(di)在黑板上画上新的(de)辅助线(xian)，或(huo)者写下一个(ge)个尝试性(xing)的计算(suan)。她的(de)动作(zuo)虽然没有之前(qian)那么(me)急(ji)切，但每(mei)一(yi)步都(dou)显得更加谨(jin)慎和有(you)目的性(xing)。

“我好像……有点眉目(mu)了！”她突然激(ji)动地(di)喊道，“如果(guo)我们假设……”

她(ta)的话(hua)音刚(gang)落，全班同(tong)学都安静了(le)下(xia)来(lai)，期待地看(kan)着她(ta)。只见(jian)小(xiao)雅快速(su)地在黑(hei)板上写(xie)下(xia)了(le)一系(xi)列步(bu)骤，每(mei)一个符(fu)号，每一个公(gong)式(shi)，都充(chong)满了(le)力(li)量。她用清晰(xi)而(er)流畅的(de)语言(yan)，向(xiang)大家解释着她(ta)的思(si)路。

“我(wo)采用(yong)了(le)……的几何(he)变换，并通(tong)过(guo)引(yin)入……这(zhe)个辅助(zhu)线，将(jiang)题(ti)目中(zhong)的复杂关(guan)系(xi)，转化(hua)为了一(yi)个(ge)……的(de)方程(cheng)。然后(hou)，利用……的(de)性(xing)质(zhi)，我(wo)就可(ke)以一步步(bu)地推(tui)导(dao)出……”

随着(zhe)她的讲(jiang)解，黑板(ban)上的公式(shi)和数(shu)字，逐(zhu)渐勾勒出一条(tiao)清晰的解(jie)题路(lu)径。同学(xue)们(men)聚精会神地听(ting)着，偶尔(er)有人(ren)发出惊叹，或(huo)者在(zai)自己(ji)的笔(bi)记(ji)本上快(kuai)速记(ji)录。

“太棒了(le)！小雅(ya)，你的(de)思路太清(qing)晰了(le)！”

“原(yuan)来(lai)是(shi)这(zhe)样(yang)！我之前怎么没想(xiang)到这(zhe)个角(jiao)度呢(ne)？”

“这(zhe)简直是(shi)神来之笔！”

当小雅最(zui)终写下(xia)答(da)案(an)时，整(zheng)个(ge)教(jiao)室响起(qi)了雷(lei)鸣(ming)般的掌(zhang)声(sheng)。那(na)道曾(ceng)经让(rang)大(da)家束手无(wu)策(ce)的“深(shen)不可测(ce)”的(de)难题，终于(yu)被(bei)征服了(le)。小雅脸上(shang)露出(chu)了(le)如(ru)释重(zhong)负的笑容，她看(kan)着同学们(men)，眼中(zhong)充满(man)了(le)感(gan)激和(he)喜(xi)悦(yue)。

“谢谢大家(jia)！如果不(bu)是你们(men)的提醒(xing)和(he)启发(fa)，我可(ke)能真(zhen)的会一直被困住。”她(ta)真诚(cheng)地说道。

老(lao)教授(shou)也露出(chu)了(le)欣慰的(de)笑(xiao)容：“看(kan)到了(le)吗？这(zhe)就是集(ji)体的智(zhi)慧。一(yi)道(dao)难(nan)题，它可能是(shi)一(yi)个挑战，但(dan)它更是一个机(ji)会，一个让(rang)我(wo)们(men)互相学(xue)习、共(gong)同(tong)进步的机会。小(xiao)雅的崩溃(kui)，提醒(xing)了我们(men)，数(shu)学并(bing)非总是(shi)轻松愉快的；而你们(men)的(de)讨论和启(qi)发(fa)，则证(zheng)明(ming)了，只(zhi)要我(wo)们(men)齐心(xin)协力，就(jiu)没有克服(fu)不(bu)了的(de)困(kun)难(nan)。

”

他(ta)继续总结(jie)道：“今(jin)天，我(wo)们(men)不仅(jin)仅是(shi)解(jie)决了一(yi)道(dao)数(shu)学(xue)题，我们(men)还学会(hui)了(le)如何面(mian)对(dui)挫(cuo)折(zhe)，如(ru)何转(zhuan)换思维，如何运用集(ji)体(ti)的力量去解决(jue)问(wen)题(ti)。这(zhe)比任(ren)何一个(ge)固(gu)定(ding)的(de)答案，都(dou)更(geng)加宝(bao)贵。”

教室(shi)里(li)，同学(xue)们望着黑(hei)板(ban)上(shang)清(qing)晰的(de)解(jie)题步骤(zhou)，感(gan)受(shou)着内心(xin)涌动(dong)的(de)成(cheng)就(jiu)感(gan)。他(ta)们知道，这次(ci)经历，将成为他(ta)们(men)学习(xi)生涯中(zhong)一次难(nan)忘的财(cai)富。那(na)道让课代(dai)表哭泣的难题(ti)，最终成为了他们共同(tong)突(tu)破的里程碑(bei)。他们需(xu)要的(de)，不仅仅是(shi)更(geng)多(duo)的解(jie)法，更(geng)是面(mian)对(dui)难(nan)题(ti)时(shi)，那份不屈不挠(nao)的探(tan)索精(jing)神和团结(jie)协作的力量。

数学的(de)魅力，在这(zhe)场(chang)“泪水(shui)与(yu)智慧”的碰(peng)撞中(zhong)，得到(dao)了最生动(dong)的诠释。

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图片来源：每经记者 陈志辉 摄

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