每经编辑｜陈凯琳    

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数字的星空：7的低语与个位数的秘密

夜空中，繁星点点，每一颗都闪烁(shuo)着(zhe)独特的光芒。而在数字的世(shi)界里，同样存在着无数奇(qi)妙的规律，等待着我们去发现。今天，我们要探索的，正是那以7为基石，层层递进的数字星河——“7x7x7x…7x7x7x7，一共有32个(ge)7相乘，这个庞然大物的个位数究竟是几？”

这个问题，仿佛一个来自(zi)数字童话(hua)的谜题，初见之下，也许会让人感到一丝丝的畏惧。32个7相乘，这可不是一笔小数目！难道我们要真的拿起计算器，一个一个地乘下去吗？别担心，数学的魅力就在于它能够化繁为简，在看似(shi)复杂的计算背后，隐藏着优雅而精巧的规律。

就像一位技艺精湛的魔术师，它总能变出令人意想不到的“戏法”。

让我们先从最基础的开始(shi)。一个(ge)7，它的个位数当然是(shi)7。两个7相(xiang)乘呢？7x7=49。看，个位数变(bian)成了(le)9。三(san)个7相(xiang)乘？7x7x7=49x7=343。个位数又变成(cheng)了3。再来一个7？7x7x7x7=343x7=2401。

个位数又变成了1。神奇的事情发生了！我们似乎看(kan)到了一个循环的影子。

我们不妨把这个过(guo)程再稍(shao)微系统化一些，就像一位侦探在收集(ji)线索。

7?的个位数是77?的个位数是9(7x7=49)7?的个位数是3(49x7=343)7?的个位数是1(343x7=2401)

现在，让我们继续向下探索。如果我们要计(ji)算7?的个位数，我们只需要(yao)用上(shang)一个结果（1）乘以7。

7?的个位数是7(1x7=7)

看！个位数又回到了7！这就像(xiang)一个永不(bu)停歇的音乐节拍，7、9、3、1，然后再次循环。

7?的个位数是9(7x7=49)7?的个位数是3(49x7=343)7?的个位数是1(343x7=2401)

这个规律就像一个精心编排的舞蹈，每四个步骤就重复一次。这意味(wei)着，无论7的指数有多大，它的个位数都会在这四个数字：7、9、3、1之间循(xun)环出现。

我们怎么利用这个规律来解决“32个7相乘”的问题呢？这32个7相乘，其实就相当于计算7的32次方的个(ge)位数。我们要做的，就是找出这个循环中的第32个数字。

就像在一条有(you)规律的跑道上跑步，我们跑了32圈，想知道最终停在(zai)哪里。这个循环(huan)的长度是4。所(suo)以，我们可以用32除以4，看(kan)看余数是多少。

32÷4=8，余数是0。

这看起来有(you)点小小的棘手，因为余数是0，我们怎么对(dui)应到7、9、3、1呢？别急，我们再仔细看看这个循环：

当指数是1时，个位数是7。当指数是2时，个位数是9。当指数是3时，个位数是3。当指数是4时，个位数是1。

注意到了(le)吗？当指数是4的倍数时，个(ge)位数总是1。而我们的32，正好是4的倍数（32=4x8）。所以，当7的指数是32时，它的个位数，就和7?的个位数一样，是1！

是不(bu)是感觉像解开了一(yi)个古老的谜(mi)团？数字的规律就像藏在宝箱里的钥匙，一旦找到，就能开启通往答案的大(da)门。这32个7相乘的积，它的个位数，就(jiu)是那个闪耀(yao)着光芒的“1”。

这只是数字(zi)世界的一个小小缩影。在这个无限的(de)数字宇宙中，还有无数等待我们(men)探索的奥秘。通过理解这些简单的规律，我们不仅能够解决眼前的计算难题(ti)，更能培养一种观察、分析和解决问题的能力。这就像在玩一场智力游戏，每(mei)一次的成功，都会带来(lai)满满的成就感。

下次当你再遇到类似的数字问题时，不妨停下来，观察一下，试着寻找其中的规(gui)律。也许，你也能像一位(wei)小小数学家一样，轻松地解开数字的秘(mi)密！7的32次方，个位数为1，这个答案，是不是比想象中要来得(de)更加奇妙和令(ling)人兴奋呢？

从7的循环到无限可能：数学思维的乐趣与实践

我们已经成功地揭开了7的32次方个位数是1的神秘面纱。这其中蕴含的，不仅仅是一个简单的计(ji)算答案，更是一种观察、归纳和推理的(de)数学思(si)维过程。这种思维方式，如同(tong)探险家手中的地图，能够指(zhi)引我们在未知的数字领域中前行(xing)，发现隐藏的宝藏。

让我们(men)回顾一下这个过程：我(wo)们通过观察7的几次幂的个位数，发现了7?（7）、7?（9）、7?（3）、7?（1）的规律。然后，我们注意到(dao)这个规律是以4为周期的循环。当指数是4的倍数时，个位数(shu)总(zong)是1。由于32是4的倍数，所以7??的个位数就是1。

这个过程，其实可以(yi)类比我们日常生活中的许多事情。比如，观察天气预报，如果连续几(ji)天都是晴(qing)天，我们就会推测明天也(ye)可能是晴天。这是一种基于过往经验(yan)的归纳。在数学中，我们(men)对7的幂的个位数进行观察，也是一种归纳。

而当我们要预测第32个数字时(shi)，我们就需要运用到“取模(mo)运算”（ModuloOperation）的思想，虽然(ran)我们可能没有直接说出这个术语，但本质上是在做类似的事情(qing)。我们用32除以4，关注的是余数。这个“余数”的概念，是数学中非常强大的一种工具。

它帮助(zhu)我们理解周期性现象。

同样，7的幂的个位数，是以4为周期的。我们将指数32除以周期4，得到32÷4=8余0。这个余数0，在我们的循环中，我们将其对应到了周期的最后一个(ge)数，也就是1。之所以这样做，是因(yin)为我(wo)们习惯于从1开始计数（7?、7?、7?、7?），当余数(shu)是0时，它代表的是周期的“终点”，也就是第四个数字。

这种理解方式，不仅适用于7的幂，还可以应用于很多其他类似的数字问题。比如：

2的幂的个位数：2?=2,2?=4,2?=8,2?=16(个位数6),2?=32(个位数2)。周期也是4：2,4,8,6。3的幂的个位(wei)数：3?=3,3?=9,3?=27(个位数7),3?=81(个位数1),3?=243(个位数3)。

周期也是4：3,9,7,1。4的幂的个位数：4?=4,4?=16(个位数6),4?=64(个位数4)。周期是2：4,6。5的幂的个位数：5?=5,5?=25(个位(wei)数5)。周期是1：5。6的幂的个位数：6?=6,6?=36(个位数6)。

周期是1：6。8的幂的(de)个位数：8?=8,8?=64(个位数4),8?=512(个位数2),8?=4096(个位数6),8?=32768(个位数8)。周期(qi)是4：8,4,2,6。9的幂的个位数：9?=9,9?=81(个位数1),9?=729(个位数9)。

周期是2：9,1。0、1的幂的个位数(shu)：0的任何正整数次幂都是0，1的任何正(zheng)整数次(ci)幂都是1。

看到了吧？不同(tong)的数字(zi)，有着不同的“性格”和“规律”。有些数字，比如0和1，非常“专一”，它们的个位数永远不变。有些数字，比如7和(he)3，则有(you)着“四海游历(li)”的循环(huan)，每四个步骤就回到原点。而有些数字，比如4和9，则更加“简洁”，只(zhi)需要两个步骤就完成一轮循环。

这种对数字规律的探索，不仅仅停留在理论层(ceng)面，它能够激发我们解决实际问题的能力。试想一下，在工(gong)程计算、计算机科学、甚至密码学中，对大数运算的估(gu)算和规律的利用都是至关重要的。虽(sui)然我们这里讨论的7的32次方是个位数，但在更广阔的领域，对大数性质的理解，能够大(da)大提高效率，甚至实现不可能的任务(wu)。

对于学生们来说，掌握这种寻(xun)找规律、利用规律的方法，是打开数学之门的一把金钥匙。它能让枯燥的计算变得有趣，让抽象的概念变得生动。从“7x7x7x…x7（32个7相乘）积的个位数字是几”这样的问题出发，我们可以引申出(chu)更多关于数字周期性的(de)探索，甚至可(ke)以尝试自己创造数字谜题，与同学朋友一起挑战。

数学的魅力，就(jiu)在于它的普遍适用性和无限的创造性。通过对一(yi)个看(kan)似简单的问题的深入剖析，我们不仅得(de)到了(le)一个确切的答案(an)，更重要的是，我(wo)们学习到了一种解决问题的方法，一种观察世界的视角。7的32次方，这个数字本身(shen)可能看起来巨大无比，但通过规律的“化繁为(wei)简”，它(ta)最终展现出了一个(ge)简洁而优雅的个位数。

这正是数学所能给予(yu)我们的(de)，一种驾驭复杂、发现规律、享受智慧的乐趣。所以，下次遇到类似的数字挑(tiao)战，不妨大胆地去探索，去发现，去享受那(na)个“aha!”的时刻吧！

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图片来源：每经记者 阮文娟 摄

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封面图片来源：图片来源：每经记者 名称 摄