每经编辑｜陈光和    

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兴趣的火(huo)花(hua)：点燃你对数(shu)学的(de)热情

数(shu)学，这(zhe)个曾(ceng)经被许多(duo)人视为枯燥(zao)乏味(wei)的学(xue)科，却蕴藏(cang)着令人(ren)惊(jing)叹的(de)逻辑(ji)之(zhi)美和(he)无(wu)穷(qiong)的创造力。很(hen)多时(shi)候，我(wo)们对(dui)数学的(de)畏惧源于初期的(de)不良(liang)接触，或(huo)是未(wei)能(neng)找(zhao)到真正契合(he)自己学(xue)习(xi)风格(ge)的途(tu)径(jing)。但请相(xiang)信，只要我(wo)们能够点(dian)燃(ran)内(nei)心(xin)的(de)那(na)团(tuan)兴趣(qu)的火(huo)花(hua)，数学(xue)便能(neng)展(zhan)现出它(ta)迷人的(de)另一(yi)面。

想象一(yi)下，那(na)些(xie)精(jing)妙绝(jue)伦的几(ji)何图形(xing)，它们在(zai)二(er)维或三维空(kong)间(jian)中(zhong)自(zi)由组合，勾(gou)勒(lei)出(chu)宇宙万(wan)物的基(ji)本形态(tai)；或(huo)是那(na)些简洁优(you)雅的(de)代数公式，它们能(neng)精(jing)准地描述(shu)现象(xiang)背后的(de)规(gui)律(lv)，甚(shen)至预(yu)测未(wei)来(lai)。数(shu)学不仅仅(jin)是冰冷(leng)的数字(zi)和符(fu)号，更是理解世界、解决问(wen)题的强大工具(ju)。从(cong)古(gu)希(xi)腊的欧(ou)几里得几(ji)何，到(dao)现代(dai)的量子(zi)力(li)学，数学(xue)始(shi)终是推动(dong)人类文(wen)明(ming)进步的基(ji)石。

如(ru)何才(cai)能点(dian)燃这(zhe)份热(re)情呢(ne)？

1.告(gao)别“填鸭式(shi)”学习，拥(yong)抱“玩(wan)转式(shi)”探索(suo)：传统(tong)的数(shu)学教(jiao)学往往侧(ce)重于(yu)公式的记忆(yi)和(he)题海战(zhan)术(shu)，这很(hen)容易让人产生(sheng)疲(pi)惫感。而我推荐的(de)学(xue)习方式(shi)，更像是(shi)一种“玩(wan)”数学。就像玩乐(le)高积(ji)木一样，你(ni)可(ke)以尝试(shi)用不(bu)同的(de)组(zu)合方式(shi)搭建出令(ling)人惊(jing)叹的(de)结构；你也(ye)可以像玩解谜游(you)戏(xi)一样，一步(bu)步揭开数学(xue)问(wen)题的真相。

互动(dong)式数(shu)学(xue)网站(zhan)和APP：如今，市面(mian)上有许多(duo)优秀的互(hu)动(dong)式学习(xi)平(ping)台(tai)，它们将抽(chou)象的数学概念(nian)转(zhuan)化(hua)为生动有趣(qu)的(de)视觉图像(xiang)和(he)游(you)戏(xi)化(hua)挑战。例如(ru)，KhanAcademy（可汗(han)学(xue)院(yuan)）提供了(le)涵(han)盖从小学(xue)到大学的丰(feng)富(fu)数(shu)学(xue)课程(cheng)，它(ta)的(de)讲解视频深入(ru)浅(qian)出(chu)，练习(xi)题也紧随其后(hou)，让你(ni)在(zai)实践(jian)中巩固(gu)知识。

还有(you)一些专门(men)针对儿(er)童(tong)的数学游(you)戏APP，比(bi)如“DragonBoxAlgebra”系(xi)列，它们通(tong)过游(you)戏化的方(fang)式，让(rang)孩子(zi)们在(zai)玩(wan)耍中(zhong)自然而然地(di)掌(zhang)握代(dai)数(shu)思维。趣(qu)味(wei)数(shu)学书(shu)籍和(he)文(wen)章：许多(duo)科普作家和(he)数学(xue)爱好者，用通(tong)俗易懂(dong)的语言(yan)将(jiang)复杂的(de)数(shu)学概(gai)念(nian)呈现出(chu)来(lai)。我(wo)特(te)别推荐(jian)一些关(guan)于(yu)数(shu)学史(shi)、数(shu)学家的故(gu)事(shi)，或是(shi)将(jiang)数学应(ying)用(yong)于(yu)生活(huo)中(zhong)的趣闻轶事。

例(li)如，马(ma)丁(ding)·加德纳(na)（MartinGardner）的书(shu)籍(ji)，他以其(qi)独(du)特的视角(jiao)和(he)幽默(mo)的笔(bi)触，将(jiang)数学(xue)的(de)乐趣(qu)带(dai)给了(le)无(wu)数读(du)者(zhe)。阅读这(zhe)些(xie)内(nei)容，能够让你感受(shou)到数学(xue)的生(sheng)命(ming)力和(he)人文(wen)关怀。动手(shou)实(shi)践(jian)，眼见(jian)为(wei)实：对(dui)于几何(he)学，动(dong)手画(hua)图、制(zhi)作模型是(shi)最好的学(xue)习(xi)方式(shi)。你(ni)可以(yi)用(yong)纸、笔(bi)、尺子、圆(yuan)规，甚(shen)至折(zhe)纸，来(lai)探(tan)索图形的性(xing)质。

例如(ru)，尝(chang)试用(yong)不(bu)同数量(liang)的边将一(yi)个圆(yuan)分(fen)割(ge)，观察角度(du)和面积的变化(hua)。对于代(dai)数(shu)，可以(yi)尝试(shi)用(yong)一些简(jian)单的编(bian)程(cheng)语言(yan)（如Python）来实现(xian)一些(xie)数学公(gong)式(shi)的计算(suan)和(he)可视化，例(li)如绘(hui)制函(han)数图(tu)像，这会让(rang)你对(dui)抽象的公(gong)式有更(geng)直观的(de)理解(jie)。

2.找到(dao)适(shi)合你的“入门砖(zhuan)”：每(mei)个人(ren)都有(you)自(zi)己的(de)学习起点和节奏(zou)。如(ru)果你(ni)觉(jue)得(de)初(chu)中的代数或几(ji)何让(rang)你(ni)感到吃(chi)力，不必(bi)灰心(xin)。也许是(shi)你的“入门砖”找错(cuo)了。

重拾(shi)基础(chu)，查漏补缺：很多时(shi)候(hou)，学习(xi)上的困(kun)难(nan)源于基础知(zhi)识的薄(bao)弱。不要(yao)害(hai)怕回到(dao)更(geng)低的年级(ji)，重新(xin)梳理那些(xie)看(kan)似(shi)简(jian)单却(que)至(zhi)关重(zhong)要(yao)的(de)概(gai)念(nian)。利用网络资源(yuan)，搜索“初(chu)中(zhong)数(shu)学基(ji)础(chu)概(gai)念”、“代数(shu)基础(chu)入(ru)门”等关(guan)键词(ci)，找(zhao)到针对(dui)性的讲解和练(lian)习。从感兴趣的(de)应用(yong)领域(yu)切入：如果你对(dui)编程(cheng)感兴趣(qu)，可(ke)以从(cong)“计算(suan)思维”和“算(suan)法(fa)”入手(shou)，这(zhe)些都与(yu)数学息(xi)息(xi)相(xiang)关。

如果你(ni)喜欢(huan)游戏(xi)，可以(yi)了(le)解(jie)游戏中(zhong)的物(wu)理(li)引擎(qing)和概率(lv)计(ji)算(suan)。如(ru)果你(ni)对金(jin)融感兴趣，可(ke)以(yi)学习(xi)一些(xie)基(ji)础的统计(ji)学和金(jin)融数(shu)学(xue)。将数(shu)学(xue)与你热爱的事(shi)物结合(he)，学习的(de)动力(li)会(hui)自(zi)然(ran)而(er)然地(di)涌(yong)现(xian)。参加(jia)线上(shang)或(huo)线(xian)下的数(shu)学兴(xing)趣小组(zu)/讨论(lun)区：与志(zhi)同道合的朋友(you)一(yi)起学习，能够互(hu)相鼓励、共(gong)同(tong)进(jin)步(bu)。

在(zai)这些(xie)社区(qu)里(li)，你可(ke)以(yi)提出(chu)自己的疑问，分(fen)享自(zi)己的(de)见解(jie)，甚至组织一些(xie)小型的数学(xue)游(you)戏或(huo)挑战。

3.拥抱(bao)错误，视(shi)其(qi)为(wei)成(cheng)长的(de)阶梯(ti)：在学(xue)习数(shu)学的过(guo)程(cheng)中，犯(fan)错(cuo)误是再(zai)正常不(bu)过(guo)的事情。关键在(zai)于，我(wo)们如(ru)何看(kan)待(dai)这(zhe)些错误。把(ba)它们(men)看作是认(ren)识自(zi)己不足、改(gai)进学习(xi)方法(fa)的机会(hui)，而不(bu)是(shi)学习能(neng)力的否定。

错题(ti)本是(shi)宝藏：建立(li)一(yi)个错题本(ben)，详(xiang)细记(ji)录下你做(zuo)错的题(ti)目(mu)，分析(xi)错误(wu)的原因（是概念(nian)不清(qing)？计算(suan)失(shi)误？还(hai)是审题(ti)不仔细(xi)？），并(bing)写下正确的解(jie)题思(si)路和(he)方法。定期(qi)回顾错题(ti)本，能(neng)够有(you)效地避免重复(fu)犯错(cuo)。请教(jiao)，但也要(yao)独立思(si)考(kao)：当(dang)遇到难题(ti)时，寻求帮(bang)助是(shi)明智(zhi)的。

但(dan)不(bu)要(yao)立刻放弃(qi)思考，而是尝试(shi)自己(ji)先分(fen)析问(wen)题，找到可能的思(si)路(lu)，然后(hou)再向他(ta)人(ren)请教。这样，你才(cai)能真(zhen)正(zheng)理解解(jie)题过(guo)程，而不是(shi)仅仅(jin)得到一个(ge)答(da)案。

点燃兴(xing)趣(qu)，是(shi)学习数(shu)学的第一(yi)步，也(ye)是最(zui)关键的一(yi)步。当数学(xue)不再是任(ren)务，而(er)是你(ni)探索世界、表达(da)思想的工具(ju)时，你将会在这个(ge)数字(zi)的(de)王(wang)国(guo)里，找到(dao)属于自(zi)己的(de)无(wu)限(xian)可能。

进(jin)阶之(zhi)路：系(xi)统(tong)性学习(xi)与(yu)资源(yuan)深度挖(wa)掘

当对(dui)数学产(chan)生(sheng)了(le)浓厚(hou)的兴趣之后(hou)，下(xia)一步(bu)便是如何(he)系统(tong)性地(di)学(xue)习，并有(you)效地利(li)用各类资源，将(jiang)这份(fen)兴(xing)趣(qu)转化为(wei)扎实(shi)的数学(xue)功(gong)底，甚(shen)至在专业(ye)领域有所(suo)建树(shu)。从(cong)掌(zhang)握核(he)心(xin)概(gai)念到(dao)应对各(ge)类(lei)挑(tiao)战(zhan)，一(yi)条清(qing)晰(xi)的学(xue)习(xi)路(lu)径能(neng)够(gou)让你(ni)事(shi)半功(gong)倍(bei)。

1.构(gou)建坚实的知(zhi)识(shi)体(ti)系：

结构化的(de)在线课程(cheng)：许多(duo)知(zhi)名大学(xue)和在(zai)线教(jiao)育平台提(ti)供高(gao)质量的(de)数(shu)学(xue)课程，它们(men)通(tong)常按(an)照学科体(ti)系(xi)进(jin)行划分，从(cong)基础的算(suan)术、代(dai)数、几(ji)何(he)，到微(wei)积(ji)分、线性(xing)代(dai)数、概率论，再(zai)到更高级的(de)离散(san)数学(xue)、抽象代(dai)数等(deng)。

Coursera、edX、MITOpenCourseware、StanfordOnline：这(zhe)些平台汇聚了(le)世界(jie)顶尖学(xue)府(fu)的课程(cheng)资(zi)源。你(ni)可(ke)以(yi)在这里找(zhao)到(dao)由知名(ming)教授讲授(shou)的(de)系统性(xing)课程(cheng)，通(tong)常(chang)包含(han)视频(pin)讲(jiang)座、课后(hou)作业、期中(zhong)期末(mo)考试(shi)等(deng)，能够提(ti)供非常接(jie)近(jin)线下(xia)课(ke)堂的学(xue)习(xi)体验。

例(li)如，MITOpenCourseware提(ti)供(gong)的(de)“CalculusOnlineTextbook”就(jiu)是一个(ge)非(fei)常(chang)好的微(wei)积分(fen)学(xue)习(xi)资源。国内(nei)平台：慕课网、中国大(da)学MOOC等平(ping)台(tai)也有(you)大量国内(nei)高校的优(you)秀数(shu)学课(ke)程(cheng)，语(yu)言(yan)和(he)教学风格(ge)更贴(tie)合(he)国内学(xue)习(xi)者(zhe)。

经典(dian)数(shu)学教材(cai)的价值(zhi)：虽然在(zai)线资(zi)源丰富(fu)，但(dan)一本好的数学(xue)教材仍然是构建知识体(ti)系(xi)不可或(huo)缺的部分(fen)。经典教材往往(wang)经过(guo)时(shi)间(jian)的检(jian)验，内容严(yan)谨，逻辑清晰(xi)。

推荐方(fang)向：基础数(shu)学：寻(xun)找那(na)些(xie)被(bei)广泛(fan)推荐的大(da)学基础数(shu)学(xue)教材，例如《高等(deng)数学》（同(tong)济(ji)大学版）、《线性(xing)代数(shu)》（同(tong)济(ji)大学(xue)版）、《概(gai)率论(lun)与数(shu)理统计》（浙江大(da)学版(ban)）等。进(jin)阶数(shu)学：如果(guo)你对某(mou)个特(te)定领域感(gan)兴趣，可(ke)以(yi)搜索该(gai)领域的(de)经(jing)典(dian)著作(zuo)。例如(ru)，关于(yu)离(li)散数(shu)学，可以(yi)查阅《离散数(shu)学(xue)及其(qi)应用》（Rosen著）；关(guan)于组(zu)合数(shu)学，可(ke)以关(guan)注(zhu)《组合(he)数(shu)学》（Brualdi著）。

数(shu)学(xue)竞赛(sai)与挑(tiao)战(zhan)：参与(yu)数(shu)学竞赛，如(ru)奥林(lin)匹克数(shu)学竞赛(sai)（IMO）、PutnamCompetition等，是检验(yan)和提(ti)升数(shu)学能力的(de)绝佳(jia)途径(jing)。即(ji)使(shi)不以获奖(jiang)为目(mu)标，研(yan)究竞赛题目本(ben)身也能(neng)够(gou)让(rang)你接(jie)触到很(hen)多(duo)新颖(ying)和深刻的数学思想。

资(zi)源整合(he)：许多竞(jing)赛(sai)网(wang)站会公布历(li)年(nian)真(zhen)题(ti)及(ji)解(jie)析，例如中国(guo)数(shu)学奥(ao)林匹(pi)克官(guan)方网站(zhan)、AoPS（ArtofProblemSolving）社(she)区等(deng)。AoPS更(geng)是汇集了大(da)量的数学(xue)竞(jing)赛(sai)训练资(zi)料(liao)和讨(tao)论(lun)区(qu)，是竞赛爱(ai)好者(zhe)的宝(bao)藏。

2.深度学(xue)习与(yu)资源(yuan)整合(he)：

利用专业(ye)数(shu)学软件(jian)：现代(dai)数学(xue)研究(jiu)和学(xue)习离(li)不开强大(da)的数(shu)学(xue)软件。掌握这些(xie)工(gong)具，不仅能(neng)帮助你(ni)进(jin)行复杂的(de)计算(suan)和可视(shi)化，还能(neng)让(rang)你更深入(ru)地(di)理(li)解(jie)数(shu)学(xue)的实(shi)际应用。

WolframMathematica&WolframAlpha：WolframAlpha作(zuo)为一(yi)个强大(da)的(de)计算(suan)知识引擎，可以解答(da)几(ji)乎任何(he)数学(xue)问题(ti)，并(bing)提(ti)供详细的(de)解答(da)过程(cheng)。Mathematica则是功能更(geng)全(quan)面(mian)的(de)数学(xue)软(ruan)件，适合进(jin)行(xing)符号计算(suan)、数值(zhi)计算(suan)、数据(ju)可视(shi)化等(deng)。

MATLAB：在(zai)工(gong)程(cheng)和科学计算(suan)领(ling)域(yu)非(fei)常(chang)流行，尤其(qi)擅(shan)长(zhang)矩阵(zhen)运(yun)算(suan)和信(xin)号处理，也包含丰富(fu)的数(shu)学工(gong)具(ju)箱(xiang)。Python（配(pei)合(he)NumPy,SciPy,Matplotlib）：Python凭借(jie)其易学易(yi)用的特性(xing)，以及(ji)强大(da)的(de)科(ke)学计(ji)算库，正变得越(yue)来越(yue)受(shou)欢(huan)迎。

NumPy用(yong)于科(ke)学(xue)计算，SciPy提(ti)供了(le)更高级的(de)科学和工程计(ji)算(suan)模块(kuai)，Matplotlib用于数(shu)据可(ke)视化。

参与(yu)在线(xian)数学社区：互联网(wang)上有许(xu)多活跃(yue)的数学(xue)社区(qu)，你(ni)可以在(zai)这里与(yu)全球的(de)数学爱好者和(he)专(zhuan)业人(ren)士交(jiao)流(liu)。

StackExchange(Mathematics&MathStackExchange)：这是提问和回(hui)答(da)数(shu)学问题的绝佳平台，你可(ke)以(yi)找(zhao)到(dao)很(hen)多问(wen)题的解答，也能(neng)提出(chu)自己(ji)的疑(yi)问。Reddit(r/math,r/learnmath)：Reddit上有专门的(de)数学板块，你可(ke)以看(kan)到最(zui)新的(de)数(shu)学研究成果(guo)、有趣的(de)数学猜想，以(yi)及(ji)学习资源分享。

MathOverflow：这是(shi)一(yi)个(ge)针对专业数(shu)学家的问答社(she)区，如果你(ni)有非(fei)常深(shen)入(ru)的数(shu)学(xue)问题，可(ke)以在这(zhe)里找(zhao)到高手。

探(tan)索数(shu)学与编程的结(jie)合：如(ru)今，数(shu)学与(yu)计算(suan)机科(ke)学的交(jiao)叉(cha)领域(yu)发展(zhan)迅速(su)。学习(xi)编程，不仅(jin)能让(rang)你更好地实现(xian)数学模(mo)型，还能让(rang)你(ni)理解(jie)许多(duo)现代数(shu)学理论(lun)的计(ji)算基础。

算(suan)法分(fen)析：学(xue)习数(shu)据结构(gou)和(he)算法，能让你从计(ji)算(suan)的角(jiao)度理解数(shu)学问(wen)题(ti)的效(xiao)率(lv)。机器学习(xi)与(yu)数(shu)据科学：这(zhe)些(xie)领域heavilyreliesonstatistics,linearalgebra,andcalculus.Understandingthesemathematicalfoundationsiscrucialforsuccess.可(ke)视化数(shu)学(xue)：使用编程(cheng)语言(yan)将(jiang)数学概(gai)念可(ke)视(shi)化(hua)，能够(gou)极(ji)大(da)地加深(shen)理(li)解。

例如，用Python绘制分(fen)形(xing)图案(an)，用(yong)Processing制(zhi)作动(dong)态几何。

3.持续学(xue)习与自我(wo)驱动(dong)：

定期(qi)复(fu)习与总结：数学学习是(shi)一(yi)个(ge)循(xun)序渐(jian)进(jin)的过程，遗忘是正(zheng)常(chang)的(de)。建立定(ding)期的复(fu)习(xi)机制，回(hui)顾(gu)已(yi)学(xue)知(zhi)识(shi)，巩固记(ji)忆。保(bao)持(chi)好奇心，探索未(wei)知：数学领域浩(hao)瀚无垠，总有新(xin)的知识等待你(ni)去发(fa)现(xian)。阅(yue)读数学(xue)期刊(kan)、科(ke)普文章，关注(zhu)数学界(jie)的(de)最新动态，保(bao)持(chi)对(dui)未(wei)知的(de)好(hao)奇心(xin)。

教(jiao)学相(xiang)长(zhang)：尝试(shi)将(jiang)你(ni)所学(xue)的数学(xue)知识教(jiao)授给他(ta)人，无论(lun)是朋友(you)、同学，还是在网(wang)络上写下自己(ji)的理解(jie)。教学(xue)是(shi)最好(hao)的学习(xi)方式(shi)，它能够帮(bang)助你梳理(li)知识(shi)，发(fa)现盲点(dian)。

从兴(xing)趣的火花(hua)到知识(shi)的殿堂(tang)，数学学习(xi)的道路(lu)充满挑(tiao)战，但(dan)也同(tong)样充满乐(le)趣和(he)成就(jiu)感。通过系(xi)统性的学(xue)习，充分利(li)用各(ge)类优质(zhi)资源，并(bing)保持持续(xu)的(de)探(tan)索(suo)精神，你一定(ding)能在(zai)数学的(de)世界里(li)，找到(dao)属(shu)于(yu)自己的精彩。

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图片来源：每经记者 陈学亨 摄

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