每经编辑｜陈俊宇    

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数字的星空：7的低語与个位数的秘密

夜空中，繁星点点，每一颗都闪烁着独特的光芒。而在数字的世界里，同样存在着无数奇妙的规律，等待着我们去发现。今天，我们要探索的，正是那以7为基石，层层递進的数字星河——“7x7x7x…7x7x7x7，一共有32个7相乘，这个庞然大物的个位数究竟是几？”

這个问题，仿佛一个来自数字童话的谜题，初见之下，也许會让人感到一丝丝的畏惧。32个7相乘，這可不是一笔小数目！難道我们要真的拿起计算器，一个一个地乘下去吗？别担心，数学的魅力就在于它能够化繁為简，在看似復杂的计算背后，隐藏着优雅而精巧的规律。

就像一位技艺精湛的魔术師，它总能变出令人意想不到的“戏法”。

让我们先从最基础的開始。一个7，它的个位数当然是7。两个7相乘呢？7x7=49。看，个位数变成了9。三个7相乘？7x7x7=49x7=343。个位数又变成了3。再来一个7？7x7x7x7=343x7=2401。

个位数又变成了1。神奇的事情發生了！我们似乎看到了一个循环的影子。

我们不妨把这个过程再稍微系统化一些，就像一位侦探在收集線索。

7?的个位数是77?的个位数是9(7x7=49)7?的个位数是3(49x7=343)7?的个位数是1(343x7=2401)

现在，讓我们继续向下探索。如果我们要计算7?的个位数，我们只需要用上一个结果（1）乘以7。

7?的个位数是7(1x7=7)

看！个位数又回到了7！这就像一个永不停歇的音乐节拍，7、9、3、1，然后再次循环。

7?的个位数是9(7x7=49)7?的个位数是3(49x7=343)7?的个位数是1(343x7=2401)

這个规律就像一个精心编排的舞蹈，每四个步骤就重复一次。這意味着，无论7的指数有多大，它的个位数都會在這四个数字：7、9、3、1之间循环出现。

我们怎么利用这个规律来解决“32个7相乘”的问题呢？这32个7相乘，其实就相当于计算7的32次方的个位数。我们要做的，就是找出这个循环中的第32个数字。

就像在一条有规律的跑道上跑步，我们跑了32圈，想知道最终停在哪里。這个循环的長度是4。所以，我们可以用32除以4，看看余数是多少。

32÷4=8，余数是0。

這看起来有点小小的棘手，因为余数是0，我们怎么对应到7、9、3、1呢？别急，我们再仔细看看这个循环：

当指数是1时，个位数是7。当指数是2時，个位数是9。当指数是3時，个位数是3。当指数是4時，个位数是1。

注意到了吗？当指数是4的倍数時，个位数总是1。而我们的32，正好是4的倍数（32=4x8）。所以，当7的指数是32時，它的个位数，就和7?的个位数一样，是1！

是不是感觉像解開了一个古老的谜团？数字的规律就像藏在宝箱里的钥匙，一旦找到，就能开启通往答案的大門。这32个7相乘的积，它的个位数，就是那个闪耀着光芒的“1”。

这只是数字世界的一个小小缩影。在这个无限的数字宇宙中，还有无数等待我们探索的奥秘。通过理解这些简单的规律，我们不仅能够解决眼前的计算難题，更能培养一种观察、分析和解决问题的能力。這就像在玩一场智力游戏，每一次的成功，都會带来满满的成就感。

下次当你再遇到类似的数字问题時，不妨停下来，观察一下，试着寻找其中的规律。也许，你也能像一位小小数学家一样，輕松地解开数字的秘密！7的32次方，个位数为1，这个答案，是不是比想象中要来得更加奇妙和令人兴奋呢？

从7的循环到无限可能：数学思维的乐趣与实践

我们已经成功地揭开了7的32次方个位数是1的神秘面纱。这其中蕴含的，不仅仅是一个简单的计算答案，更是一种观察、归纳和推理的数学思维过程。這种思维方式，如同探险家手中的地图，能够指引我们在未知的数字领域中前行，发现隐藏的宝藏。

讓我们回顾一下这个过程：我们通过观察7的几次幂的个位数，发现了7?（7）、7?（9）、7?（3）、7?（1）的规律。然后，我们注意到这个规律是以4為周期的循环。当指数是4的倍数時，个位数总是1。由于32是4的倍数，所以7??的个位数就是1。

这个过程，其实可以类比我们日常生活中的许多事情。比如，观察天氣预报，如果连续几天都是晴天，我们就會推测明天也可能是晴天。這是一种基于过往经验的归纳。在数学中，我们对7的幂的个位数进行观察，也是一种归纳。

而当我们要预测第32个数字时，我们就需要運用到“取模運算”（ModuloOperation）的思想，虽然我们可能没有直接说出這个術語，但本质上是在做类似的事情。我们用32除以4，关注的是余数。这个“余数”的概念，是数学中非常强大的一种工具。

它帮助我们理解周期性现象。

同样，7的幂的个位数，是以4为周期的。我们将指数32除以周期4，得到32÷4=8余0。這个余数0，在我们的循环中，我们将其对應到了周期的最后一个数，也就是1。之所以這样做，是因为我们習惯于从1開始计数（7?、7?、7?、7?），当余数是0時，它代表的是周期的“终点”，也就是第四个数字。

這种理解方式，不仅适用于7的幂，还可以應用于很多其他类似的数字问题。比如：

2的幂的个位数：2?=2,2?=4,2?=8,2?=16(个位数6),2?=32(个位数2)。周期也是4：2,4,8,6。3的幂的个位数：3?=3,3?=9,3?=27(个位数7),3?=81(个位数1),3?=243(个位数3)。

周期也是4：3,9,7,1。4的幂的个位数：4?=4,4?=16(个位数6),4?=64(个位数4)。周期是2：4,6。5的幂的个位数：5?=5,5?=25(个位数5)。周期是1：5。6的幂的个位数：6?=6,6?=36(个位数6)。

周期是1：6。8的幂的个位数：8?=8,8?=64(个位数4),8?=512(个位数2),8?=4096(个位数6),8?=32768(个位数8)。周期是4：8,4,2,6。9的幂的个位数：9?=9,9?=81(个位数1),9?=729(个位数9)。

周期是2：9,1。0、1的幂的个位数：0的任何正整数次幂都是0，1的任何正整数次幂都是1。

看到了吧？不同的数字，有着不同的“性格”和“规律”。有些数字，比如0和1，非常“專一”，它们的个位数永远不变。有些数字，比如7和3，则有着“四海游歷”的循环，每四个步骤就回到原点。而有些数字，比如4和9，则更加“简洁”，只需要两个步骤就完成一轮循环。

这种对数字规律的探索，不仅仅停留在理论层面，它能够激发我们解决实际问题的能力。试想一下，在工程计算、计算機科学、甚至密码学中，对大数運算的估算和规律的利用都是至关重要的。虽然我们這里讨论的7的32次方是个位数，但在更广阔的领域，对大数性质的理解，能够大大提高效率，甚至实现不可能的任务。

对于学生们来说，掌握这种寻找规律、利用规律的方法，是打开数学之門的一把金钥匙。它能让枯燥的计算变得有趣，让抽象的概念变得生动。从“7x7x7x…x7（32个7相乘）积的个位数字是几”这样的问题出发，我们可以引申出更多关于数字周期性的探索，甚至可以尝试自己创造数字谜题，与同学朋友一起挑戰。

数学的魅力，就在于它的普遍适用性和无限的创造性。通过对一个看似简单的问题的深入剖析，我们不仅得到了一个确切的答案，更重要的是，我们学习到了一种解决问题的方法，一种观察世界的视角。7的32次方，這个数字本身可能看起来巨大无比，但通过规律的“化繁為简”，它最终展现出了一个简洁而优雅的个位数。

這正是数学所能给予我们的，一种驾驭復杂、发现规律、享受智慧的乐趣。所以，下次遇到类似的数字挑戰，不妨大胆地去探索，去發现，去享受那个“aha!”的时刻吧！

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图片来源：每经记者 陈敏 摄

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封面图片来源：图片来源：每经记者 名称 摄