每经编辑｜陈江峰    

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一、当“数(shu)学课代(dai)表(biao)”也潸然泪下(xia)：难题的(de)“太深”究(jiu)竟有多深(shen)？

还记(ji)得(de)那(na)个曾经在(zai)讲台(tai)上(shang)自信飞(fei)扬，在习题册上(shang)游刃(ren)有(you)余的(de)“数学(xue)课(ke)代表(biao)”吗？你也许(xu)想象不到(dao)，即便是这(zhe)样被(bei)众人(ren)视为“数学(xue)尖子生(sheng)”的她，也(ye)曾因为(wei)一道(dao)道(dao)深邃的(de)数(shu)学难题而(er)黯然神伤(shang)，甚至(zhi)在深(shen)夜里，泪水(shui)悄(qiao)然滑落(luo)。这“太深(shen)了(le)”三个(ge)字，饱(bao)含(han)了多少(shao)个日(ri)夜(ye)的(de)挣扎(zha)与不(bu)解，又(you)隐(yin)藏(cang)了多(duo)少(shao)不为(wei)人(ren)知的(de)辛酸。

我们(men)常说，数学是一(yi)门抽象的(de)学(xue)科(ke)，它的美(mei)在(zai)于(yu)逻辑的严谨，它(ta)的(de)力量(liang)在于(yu)思辨(bian)的深(shen)度(du)。正(zheng)是这(zhe)种深度，常(chang)常(chang)让许多同学望而(er)却步。一(yi)道道复(fu)杂的题(ti)目，仿佛(fu)一个又一个的“拦(lan)路虎”，不仅仅(jin)是数字和符(fu)号(hao)的(de)堆砌(qi)，更是思(si)维的(de)迷(mi)宫。它们(men)常常(chang)跳脱出课(ke)本的框(kuang)架，以一(yi)种“出(chu)其不意(yi)”的(de)方式考验着我们对知识(shi)的(de)理(li)解和运用(yong)能力(li)。

“太(tai)深(shen)了(le)”，是因为(wei)我们对概(gai)念的理(li)解(jie)不够透彻(che)。很多时候，我们仅仅是记住了(le)公式，记(ji)住(zhu)了定理，却(que)未能真正理解其(qi)背后的逻辑和推理过程。当题目稍(shao)加变(bian)化，脱离(li)了熟(shu)悉的(de)模式(shi)，我们就如同无(wu)根之(zhi)萍，难(nan)以找到解题(ti)的(de)突破(po)口。例(li)如，在(zai)学习微积(ji)分时(shi)，仅仅(jin)记住求导(dao)法(fa)则(ze)和积(ji)分公(gong)式是(shi)远(yuan)远不够的(de)，更重要(yao)的是理(li)解导数(shu)代表的“变(bian)化(hua)率(lv)”和积分代表的(de)“累积效应(ying)”，以及(ji)它(ta)们(men)在现实世(shi)界(jie)中的应(ying)用场景。

只有当(dang)这些(xie)概念真(zhen)正内化(hua)于(yu)心(xin)，才(cai)能在(zai)遇到复(fu)杂(za)的(de)应用(yong)题时(shi)，游刃有余(yu)。

“太深了”，是因为(wei)我们(men)的思维方式未能(neng)跟(gen)上。数(shu)学(xue)的(de)魅力在(zai)于(yu)其(qi)严谨(jin)的(de)逻辑推理(li)和灵(ling)活(huo)的(de)思维(wei)转换(huan)。一道难题(ti)往往需要(yao)我(wo)们跳出固有(you)的思维定势，从(cong)多(duo)个角度去(qu)审(shen)视(shi)问题(ti)，甚(shen)至需要联(lian)想不同章节的(de)知(zhi)识点。比(bi)如说(shuo)，一道关于函数最值(zhi)的问题，可(ke)能(neng)不仅仅涉及(ji)到(dao)函数(shu)的性质，还可(ke)能需(xu)要运用到(dao)导数、不等(deng)式(shi)，甚(shen)至几何的(de)知(zhi)识。

如果(guo)我们(men)的思维是“线性(xing)”的，一(yi)旦遇(yu)到(dao)需(xu)要(yao)“跨(kua)界”思(si)考的题目(mu)，就(jiu)会(hui)感到(dao)力(li)不(bu)从(cong)心(xin)。

“太深(shen)了”，是(shi)因为我们(men)缺乏(fa)有效(xiao)的学(xue)习(xi)方(fang)法(fa)。死(si)记硬(ying)背(bei)、题海战(zhan)术，这些看似(shi)勤(qin)奋的(de)方式，往往(wang)事倍功半。我(wo)们(men)可能会花(hua)费(fei)大(da)量的时间去做(zuo)大量的题(ti)目，但(dan)效果(guo)却(que)不尽(jin)如(ru)人(ren)意。这是因为(wei)，我们(men)没有找(zhao)到(dao)“对症下药(yao)”的(de)学习(xi)方法，没有学(xue)会“举一(yi)反三”。很多时(shi)候(hou)，一道(dao)难(nan)题的(de)出现(xian)，并(bing)非(fei)是知识点(dian)的“断(duan)层”，而是(shi)我(wo)们对知识(shi)点(dian)“连接(jie)”能力的欠缺(que)。

“太深(shen)了”，也是(shi)一(yi)种情(qing)绪的(de)表达(da)。当(dang)付出了(le)大量的(de)努(nu)力，却收效甚微时，挫败感会像(xiang)潮水(shui)般涌来。看着同学(xue)们(men)轻松解决的问(wen)题，自(zi)己却绞尽脑汁(zhi)，这种落差感会(hui)让(rang)人(ren)倍(bei)感压力(li)，甚至开(kai)始怀疑(yi)自己的学习能(neng)力。正(zheng)是这(zhe)种“深(shen)”的(de)无力感，让“数(shu)学课(ke)代表(biao)”也忍(ren)不住(zhu)潸然(ran)泪(lei)下(xia)。

但是，请不(bu)要因此(ci)而(er)气馁。每一个(ge)“太深了(le)”的背(bei)后，都蕴藏(cang)着突(tu)破(po)的契机。正如“数学(xue)课代(dai)表(biao)”最(zui)终能(neng)够(gou)走出迷(mi)茫，掌(zhang)握数(shu)学精(jing)髓一样，我(wo)们(men)也(ye)可以通过(guo)科学(xue)的学习方(fang)法，将(jiang)那些看似“深不(bu)可测”的难题，一(yi)一破(po)解，最(zui)终(zhong)实(shi)现对(dui)数学知识(shi)的轻松(song)掌(zhang)握。我们就将深入探(tan)讨(tao)，如何才能真(zhen)正“轻(qing)松掌(zhang)握数(shu)学精(jing)髓”，让“太深了(le)”变成“我(wo)能(neng)行(xing)”！

二、拨(bo)开迷雾，化(hua)繁(fan)为简：掌(zhang)握数学精髓的“秘密武器”

曾经(jing)的(de)“数学课(ke)代(dai)表(biao)”之所(suo)以能(neng)够从(cong)“太深(shen)”的(de)泥(ni)沼中(zhong)脱(tuo)颖(ying)而(er)出(chu)，并非天生(sheng)就(jiu)拥(yong)有(you)超凡(fan)的数学(xue)天赋，而是(shi)她找(zhao)到了(le)真正(zheng)适合(he)自己(ji)的学(xue)习方(fang)法，并持之(zhi)以恒地(di)去实践。这些方(fang)法，如(ru)同(tong)“秘(mi)密(mi)武(wu)器”，能够(gou)帮(bang)助(zhu)我们(men)拨开(kai)重重(zhong)迷雾，化繁为(wei)简，轻(qing)松(song)掌握(wo)数(shu)学(xue)精(jing)髓。

1.概念(nian)为王，深度(du)理解(jie)是根(gen)基(ji)

一切(qie)数(shu)学(xue)问(wen)题的解(jie)决(jue)，都离不(bu)开(kai)对基(ji)础概念的深刻(ke)理解(jie)。与(yu)其花费(fei)大(da)量时(shi)间去做(zuo)那些“换汤不换(huan)药”的(de)难题，不如(ru)回到(dao)最(zui)基(ji)础(chu)的(de)概念(nian)上，反复揣摩(mo)。

刨根问(wen)底(di)，追(zhui)溯(su)源头：对于(yu)每(mei)一个(ge)公(gong)式(shi)、定(ding)理(li)，不要(yao)仅(jin)仅(jin)停留(liu)在“是什么”，更要探究(jiu)“为(wei)什么(me)”。它(ta)的提(ti)出背(bei)景是(shi)什么？它是如(ru)何(he)推导(dao)出来(lai)的(de)？它在哪(na)些场景下(xia)适用(yong)？主动去查(cha)阅资(zi)料(liao)，与老师(shi)同学(xue)讨(tao)论，甚至自己(ji)动手去(qu)证(zheng)明。例如，在学习(xi)勾股(gu)定理(li)时，可(ke)以通(tong)过“面(mian)积法”来直观理解，用多个(ge)不(bu)同边长(zhang)的直(zhi)角(jiao)三角形(xing)，拼凑(cou)成(cheng)大(da)正方(fang)形，从而发(fa)现$(a^2+b^2)$的(de)面(mian)积等(deng)于(yu)$c^2$的(de)面积。

联(lian)系实际，赋(fu)予生(sheng)命(ming)：将(jiang)抽(chou)象(xiang)的数学概念与(yu)生活实(shi)际联系(xi)起来(lai)。例如，学习百分(fen)数(shu)时(shi)，可以关注超市的打(da)折(zhe)信息；学习概(gai)率时，可以分(fen)析(xi)彩票的中奖概率(lv)。这种联系能(neng)够帮(bang)助(zhu)我(wo)们(men)更好地(di)理解(jie)概念(nian)的内涵(han)，使其不再是冰冷的符(fu)号，而是鲜活的(de)工(gong)具(ju)。构建知识(shi)网络：将(jiang)看似孤(gu)立的(de)知识(shi)点(dian)串(chuan)联起来，形(xing)成一(yi)个完整的知(zhi)识体系(xi)。

例如，学习函(han)数时，要明白(bai)它(ta)与(yu)方程(cheng)、不等(deng)式、数列等(deng)知(zhi)识点之(zhi)间的(de)联系(xi)。画出(chu)思维导图(tu)，梳理知(zhi)识(shi)脉络，能够(gou)帮助我们从宏观(guan)上把(ba)握(wo)数学(xue)体系(xi)，在解(jie)题时能够调用(yong)更全面的知(zhi)识(shi)储备。

2.思维训练(lian)，解锁(suo)数学(xue)“隐藏(cang)关卡”

数(shu)学(xue)的(de)精髓在(zai)于(yu)思维(wei)，而(er)思维(wei)是(shi)可(ke)以训(xun)练的。掌握一(yi)些(xie)高效的思维训(xun)练方法，能够帮助我(wo)们更(geng)好(hao)地(di)应对(dui)难题(ti)。

化归(gui)思想(xiang)：这是解决(jue)数学问题(ti)最(zui)核(he)心的思维方(fang)式(shi)之一(yi)。将复(fu)杂的(de)问题(ti)转(zhuan)化(hua)为(wei)简单(dan)的(de)问题，将未(wei)知转(zhuan)化为(wei)已知。在遇到难(nan)题时(shi)，尝试将(jiang)其(qi)拆解(jie)成若(ruo)干个(ge)小问(wen)题(ti)，或者将其(qi)转(zhuan)化为一个自己(ji)熟(shu)悉(xi)的题型(xing)。例如，一个复杂的(de)代数方(fang)程(cheng)，可(ke)以尝试(shi)通(tong)过因式分解、换(huan)元(yuan)等方法，将(jiang)其转化为(wei)一(yi)个更简单的(de)二次(ci)方程(cheng)。

数形(xing)结合(he)：很多(duo)几(ji)何(he)问(wen)题(ti)可以转化为代数问(wen)题，反之亦(yi)然。利用图(tu)形的(de)直观(guan)性来(lai)辅助代数运(yun)算(suan)，或者(zhe)利用代(dai)数(shu)的(de)精确(que)性来(lai)描述图(tu)形的(de)性质(zhi)。例如(ru)，在求解不(bu)等式时，可以通(tong)过绘制(zhi)函(han)数图(tu)像(xiang)来(lai)直(zhi)观(guan)地(di)看(kan)出不(bu)等(deng)式的解(jie)集。分(fen)类讨论：当(dang)问题中存在不(bu)确定因素(su)，或者(zhe)可以(yi)用不同的(de)方式(shi)来定义某(mou)些变(bian)量时，就需(xu)要用到(dao)分类(lei)讨(tao)论的(de)思维。

确保(bao)每一个类别都(dou)被充(chong)分考虑到(dao)，并且(qie)分类(lei)的标(biao)准要(yao)清晰(xi)明(ming)确(que)，避免(mian)重(zhong)叠(die)或遗漏(lou)。逆向(xiang)思维：有(you)时候，从问题的反面去思考，能(neng)够带来意想(xiang)不(bu)到的(de)突破。例(li)如(ru)，在证(zheng)明某(mou)个命(ming)题时，可(ke)以尝试证(zheng)明它的逆否命题(ti)。

3.方(fang)法优化(hua)，告别“低效(xiao)勤(qin)奋(fen)”

“题海(hai)战(zhan)术”并非(fei)万能(neng)，关(guan)键在(zai)于“精”与(yu)“巧(qiao)”。

精选题(ti)目，重在理解(jie)：不(bu)是题(ti)目(mu)做(zuo)得越(yue)多越好(hao)，而是要选(xuan)择(ze)那(na)些能够(gou)触及知(zhi)识(shi)点核(he)心，能够暴露思维盲(mang)区的题目(mu)。做完一道题，不(bu)是仅(jin)仅(jin)对(dui)对答(da)案就放下(xia)，而是(shi)要深(shen)入分(fen)析：为(wei)什么会做错？错(cuo)在(zai)哪(na)里？这(zhe)道(dao)题(ti)考察(cha)了(le)哪些知(zhi)识点？还(hai)有(you)哪些(xie)类似(shi)的解(jie)法？错(cuo)题本的“复(fu)活术(shu)”：错题(ti)本是提升(sheng)成绩的宝藏，但(dan)前提(ti)是(shi)要用对(dui)方法(fa)。

不(bu)要仅仅(jin)是抄题，而(er)是(shi)要(yao)写下错误(wu)原因(yin)、正确思(si)路、以及(ji)相关的(de)知识点。定期(qi)回顾错题(ti)，并尝试重(zhong)新做(zuo)一遍(bian)，确(que)保真正(zheng)掌握(wo)。学习(xi)“高手(shou)”的思路：阅读优(you)秀学生的解题思路(lu)，或(huo)者向老(lao)师(shi)请教(jiao)，学习(xi)他们解(jie)决问题的(de)方(fang)式。观察他们(men)是如何(he)分(fen)析(xi)问(wen)题，如(ru)何(he)组(zu)织语(yu)言，如(ru)何进(jin)行逻(luo)辑推理(li)的(de)。

寻求“支点(dian)”，寻求(qiu)“杠杆(gan)”：找到数学(xue)学习(xi)中的(de)“支(zhi)点”，也就(jiu)是那(na)些最(zui)关键的(de)知(zhi)识点(dian)或思维方式，然(ran)后用(yong)“杠杆”去撬动(dong)整(zheng)个学(xue)科(ke)。例如，对(dui)于代数而言，方(fang)程和函数是(shi)两(liang)个(ge)重(zhong)要的(de)“支点(dian)”，掌(zhang)握(wo)了它(ta)们(men)，就(jiu)如同(tong)拥有了解(jie)决许多问(wen)题的(de)“钥匙(shi)”。

4.调整心态(tai)，拥抱(bao)挑战

学习(xi)数学，尤(you)其(qi)是在面对(dui)难题(ti)时，心(xin)态(tai)至关(guan)重要。

建立自(zi)信，从“小胜(sheng)”开始：不要一开(kai)始就(jiu)挑(tiao)战高难(nan)度(du)，可(ke)以从一些(xie)例题(ti)、课(ke)后习题(ti)开始，逐(zhu)步(bu)建立(li)信(xin)心(xin)。每(mei)一(yi)次(ci)的(de)成功，都(dou)是在为(wei)下一次的挑战(zhan)积蓄(xu)力(li)量。允许(xu)犯错(cuo)，视(shi)难为(wei)友(you)：认识到犯错是(shi)学习(xi)过程(cheng)中(zhong)不(bu)可避免(mian)的(de)一部(bu)分(fen)。不要因(yin)为一(yi)时的(de)失(shi)败而否定(ding)自己(ji)。将难题(ti)视为一(yi)个成长的机(ji)会，一个让(rang)你(ni)更(geng)上(shang)一层楼(lou)的“垫脚(jiao)石”。

保持(chi)好(hao)奇(qi)，享受过程(cheng)：试着(zhe)去(qu)发现(xian)数学的(de)趣味(wei)性(xing)和逻辑美(mei)。当你带着(zhe)好(hao)奇心去探(tan)索(suo)时，学习的过(guo)程本(ben)身(shen)就(jiu)会变(bian)得更有意(yi)义，那些所(suo)谓(wei)的“深”也(ye)就不再(zai)那么(me)令(ling)人(ren)畏惧(ju)。

“数(shu)学课(ke)代表哭(ku)着(zhe)说太深了(le)”，这(zhe)不(bu)仅仅是一(yi)种(zhong)情绪的宣(xuan)泄，更是一种(zhong)成(cheng)长的信(xin)号。当(dang)我们能够(gou)坦然(ran)面对这份“深”，并(bing)找到(dao)科(ke)学的(de)学习(xi)方法，积(ji)极的心态(tai)去(qu)拥(yong)抱它(ta)时，那些曾(ceng)经让(rang)我们(men)望而却步的难(nan)题，终(zhong)将化(hua)为(wei)我们通往(wang)数(shu)学精髓的(de)阶梯(ti)。从此(ci)刻起，让(rang)我(wo)们一起，将“太深了”变成“我(wo)能行(xing)”，轻松(song)掌握(wo)数学的(de)奥秘(mi)！

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图片来源：每经记者 陈淑品 摄

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