每经编辑｜陈师曾    

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“太深了(le)！这道题简(jian)直(zhi)太深(shen)了(le)！”

教(jiao)室里，传来一阵(zhen)压抑(yi)不(bu)住的哭(ku)腔，打破了原(yuan)本(ben)还算平静的(de)课(ke)堂气(qi)氛。所(suo)有人(ren)的目(mu)光瞬(shun)间(jian)聚(ju)焦(jiao)在讲(jiang)台(tai)中央。数(shu)学课代表小(xiao)雅，那个平时总是自信满(man)满、成(cheng)绩名(ming)列(lie)前(qian)茅的(de)女(nv)孩，此(ci)刻(ke)却(que)两眼含泪，肩(jian)膀(bang)微(wei)微颤抖，手中紧握的(de)粉(fen)笔(bi)头在(zai)讲台(tai)上留(liu)下(xia)一(yi)道道(dao)白(bai)色(se)的痕迹，仿佛(fu)是(shi)她内(nei)心无助的宣(xuan)泄(xie)。

“这……这题到底怎(zen)么做(zuo)啊？”她(ta)哽咽着，声(sheng)音(yin)带(dai)着一(yi)丝绝望，“我……我(wo)尝(chang)试了所(suo)有我(wo)能(neng)想到的方法，代(dai)数(shu)法、几何法(fa)、甚(shen)至……甚至(zhi)我还试着画了图，但……它(ta)就像一个(ge)无底(di)洞，我怎么也找不(bu)到出(chu)口(kou)！”

空(kong)气(qi)中弥(mi)漫(man)着一种(zhong)难以言喻(yu)的尴尬与(yu)震(zhen)惊。任课老师(shi)，一位(wei)经验丰富(fu)、素(su)来以(yi)沉(chen)稳(wen)著称的老教(jiao)授(shou)，此(ci)刻也皱起(qi)了眉头，眼(yan)神中流露(lu)出几(ji)分诧异。他缓步(bu)走到小雅(ya)身边，轻(qing)轻(qing)拍了拍她(ta)的肩膀，温声说(shuo)道：“小(xiao)雅，别急，我(wo)们(men)一(yi)起想(xiang)想(xiang)办(ban)法。”

即(ji)便是老教(jiao)授，在(zai)审视了黑(hei)板上(shang)那道题目(mu)后，也忍不(bu)住发(fa)出一(yi)声轻微的(de)叹息。这(zhe)道(dao)题，确实不(bu)寻(xun)常。它并(bing)非(fei)课(ke)本上(shang)常见的例题，也(ye)不是(shi)老师(shi)平时(shi)留(liu)下的练(lian)习(xi)题(ti)，而是他从(cong)一(yi)本国外(wai)数学(xue)竞(jing)赛(sai)的题(ti)目集里挑(tiao)选出(chu)来的(de)，旨在(zai)挑(tiao)战学生的思(si)维(wei)极(ji)限(xian)，激发他们(men)对(dui)数学(xue)更深(shen)层次(ci)的探(tan)索。

题目本身以(yi)其简(jian)洁(jie)的文字(zi)和看(kan)似(shi)朴(pu)素的(de)表(biao)述，隐(yin)藏着一(yi)个极其复杂的(de)数学(xue)结(jie)构(gou)，它要求的(de)不只(zhi)是熟(shu)练的(de)公式运用，更需要非(fei)凡(fan)的(de)洞(dong)察(cha)力和创造(zao)性的(de)解题(ti)思路(lu)。

“这道(dao)题……它的条(tiao)件(jian)似乎(hu)很有限，但(dan)它所蕴含的(de)数学关系却错(cuo)综(zong)复杂(za)。”一(yi)位平时沉默寡言(yan)的(de)同学(xue)低声说(shuo)道，“我(wo)感觉它像一(yi)个迷宫，每条(tiao)路(lu)都通向更深的未知。”

“是啊(a)，我感(gan)觉我(wo)的脑子都(dou)快要炸了。”另一(yi)位同(tong)学揉着太(tai)阳穴(xue)，脸上写满(man)了(le)疲惫，“我(wo)甚(shen)至(zhi)开始(shi)怀疑自己(ji)的(de)数(shu)学能(neng)力了(le)，是不(bu)是我(wo)根(gen)本(ben)就没有这(zhe)方面的天(tian)赋(fu)？”

一(yi)时间(jian)，教室里议(yi)论纷(fen)纷(fen)，各(ge)种(zhong)猜测、惊(jing)叹、甚(shen)至还有些(xie)许自我怀(huai)疑的(de)声音交(jiao)织(zhi)在一(yi)起。平(ping)日(ri)里，数学(xue)课总是(shi)按部就班，知识点(dian)的讲(jiang)解、例题的分析、习题(ti)的(de)巩(gong)固，一(yi)切似(shi)乎都在掌(zhang)控(kong)之中。而(er)现在(zai)，一道突如其来的(de)难(nan)题(ti)，如(ru)同一(yi)块(kuai)巨石(shi)投入(ru)平静的(de)湖(hu)面，激(ji)起(qi)了层(ceng)层(ceng)涟漪，甚(shen)至让一(yi)些(xie)学(xue)生(sheng)感到了前(qian)所未有(you)的(de)压(ya)力(li)和挫败(bai)感。

小雅的眼(yan)泪并(bing)没有因为(wei)老师(shi)的(de)安(an)慰(wei)而(er)停止(zhi)，反而(er)越流(liu)越凶(xiong)。她是(shi)一名(ming)优(you)秀(xiu)的(de)数学课(ke)代表(biao)，肩负(fu)着同(tong)学们的(de)信任(ren)和(he)老师的期(qi)望。她(ta)习(xi)惯(guan)了成为解(jie)答者，习惯了带领同学们攻克(ke)难关。而(er)此刻，她(ta)自己却被(bei)一道(dao)难题(ti)深深(shen)地(di)绊(ban)住，这种(zhong)无(wu)力感(gan)，对她(ta)来说无(wu)疑是一(yi)种巨(ju)大的打击(ji)。

“我……我(wo)让大(da)家失(shi)望了。”她抽(chou)泣着(zhe)，声音(yin)更(geng)加(jia)沙哑。

“不，小雅(ya)，你(ni)没(mei)有。”老教授温(wen)和地打(da)断(duan)了她(ta)，“你敢(gan)于面对难(nan)题，敢(gan)于(yu)承认自(zi)己的困惑(huo)，这本身就(jiu)是(shi)一(yi)种勇(yong)敢。你看(kan)，你哭泣(qi)的样(yang)子(zi)，也让大(da)家看(kan)到了数学的(de)另一面(mian)——它不(bu)是冷冰冰的公式，它(ta)也(ye)会让(rang)人(ren)感到兴(xing)奋、痛(tong)苦(ku)，但最(zui)终，也能带(dai)来巨大(da)的成就(jiu)感。”

他转向全班(ban)同学，朗声(sheng)说道(dao)：“同学们(men)，我们今(jin)天遇到了一道非常(chang)有挑战(zhan)性(xing)的题目。这(zhe)道题(ti)目，不(bu)仅(jin)仅(jin)是对我们知识储备(bei)的考(kao)验，更是对(dui)我(wo)们思维(wei)能(neng)力(li)、解决(jue)问题(ti)能(neng)力(li)的一(yi)次深度淬炼。小雅(ya)刚才(cai)的(de)反(fan)应，也恰(qia)恰说(shuo)明了这道题(ti)的(de)难(nan)度和它带给我们的冲(chong)击。但(dan)请大(da)家(jia)记住，真(zhen)正的(de)学(xue)习，往往(wang)就发生在这样(yang)的‘卡点’和‘难(nan)点(dian)’之中。

”

教室里(li)的(de)气(qi)氛(fen)，在老(lao)师的(de)一番话后，发(fa)生了一些(xie)微(wei)妙的(de)变化(hua)。同学(xue)们(men)不(bu)再只是被(bei)动地感受压力(li)，而是开始(shi)尝试理解(jie)这(zhe)道(dao)题的意义(yi)。他们(men)看到了课(ke)代表的崩(beng)溃，也(ye)听到了(le)老(lao)师的(de)鼓(gu)励(li)。这种(zhong)集体(ti)性(xing)的挑战，让他(ta)们意(yi)识(shi)到，自己并(bing)非(fei)孤军(jun)奋战(zhan)。

“教授(shou)，这道(dao)题到(dao)底有多(duo)难(nan)？它(ta)为(wei)什(shen)么这么‘深’？”一位平(ping)时对(dui)数学(xue)充满好奇(qi)的学(xue)生举(ju)手问道(dao)。

老教授(shou)笑了笑：“‘深’，是因(yin)为它触(chu)及(ji)到了数学的本(ben)质。它不是(shi)简单(dan)地套(tao)用公(gong)式，而是需(xu)要(yao)你(ni)对(dui)数(shu)学概(gai)念(nian)有(you)深刻(ke)的理解，并且能够灵活地运用这(zhe)些概念去构(gou)建新(xin)的解(jie)决方(fang)案。它(ta)需(xu)要我们(men)跳(tiao)出固有的思(si)维模(mo)式，用一种(zhong)全(quan)新的视角去(qu)审视问题(ti)。”

他继(ji)续(xu)说(shuo)道(dao)：“这道(dao)题(ti)，可能没(mei)有一(yi)个(ge)现成的公(gong)式可(ke)以直接(jie)套用，它(ta)更像(xiang)是(shi)需(xu)要(yao)我(wo)们(men)自己去‘创造(zao)’解题(ti)的工具。这正是(shi)数(shu)学的魅力所在，它不仅(jin)仅是计算(suan)，更是(shi)创造。”

小雅也止(zhi)住了(le)哭(ku)泣(qi)，她(ta)抬(tai)起泪(lei)眼(yan)模糊的(de)脸，看着黑板上(shang)的(de)题(ti)目，眼神中(zhong)重新(xin)燃(ran)起了一(yi)丝光芒。她知道，自己不能永(yong)远(yuan)被困(kun)在(zai)这(zhe)里，她需要(yao)站起来，和(he)同学们一(yi)起，去(qu)寻找那条通往(wang)答(da)案的道路。

“我……我愿(yuan)意再试一次(ci)。”她(ta)深(shen)吸一口气，擦(ca)干(gan)眼(yan)泪，重(zhong)新拿起了粉笔(bi)。

教室(shi)里(li)，一种不(bu)同(tong)于以(yi)往的(de)氛围在悄然(ran)滋生(sheng)。这(zhe)不是(shi)一个简(jian)单的数学题解(jie)答过(guo)程，而(er)是一(yi)场关(guan)于挑(tiao)战、关于(yu)勇(yong)气(qi)、关(guan)于智(zhi)慧的(de)集体(ti)探索(suo)。每个人(ren)都在这(zhe)场“深(shen)不可(ke)测(ce)”的(de)难题面(mian)前，重新(xin)审视(shi)着自己与(yu)数学的关(guan)系(xi)。

“既(ji)然直接(jie)的(de)解(jie)法(fa)行不通(tong)，那我们(men)能不(bu)能(neng)换个角(jiao)度思(si)考？”

老教(jiao)授的话，如同一盏(zhan)明(ming)灯，驱散(san)了笼(long)罩在(zai)教(jiao)室(shi)里(li)的(de)迷茫(mang)。同学(xue)们(men)你(ni)一(yi)言(yan)我一语，将(jiang)刚才的震惊和(he)沮丧，转化为一(yi)股涌(yong)动的(de)思考(kao)潮。黑板(ban)上的那(na)道题(ti)，依(yi)然(ran)像一(yi)个难(nan)以征服的(de)山峰，但同(tong)学们(men)却不(bu)再畏(wei)惧，而(er)是开始(shi)认真地(di)观(guan)察(cha)它(ta)的每一(yi)处(chu)纹理，试图找(zhao)到攀登的(de)路径(jing)。

“教授(shou)，我(wo)注(zhu)意到(dao)题目中提(ti)到了(le)几个(ge)关键的量，它们(men)之间是否(fou)存在(zai)某种(zhong)不显(xian)而易见(jian)的(de)关系(xi)？”一位(wei)善(shan)于(yu)从细(xi)节(jie)入(ru)手分(fen)析的(de)同学提出(chu)了疑(yi)问(wen)。

“没(mei)错(cuo)，很多复(fu)杂的(de)数学问题(ti)，往往(wang)都(dou)隐藏在(zai)看似(shi)微不(bu)足道(dao)的细(xi)节之中。”老(lao)教授赞许(xu)地点(dian)了点头(tou)，“大家可以尝试(shi)将这(zhe)些量进(jin)行(xing)转换，或(huo)者寻找它们之(zhi)间的比例、函(han)数关系。有时候，一(yi)个巧妙的变量(liang)替换(huan)，就能(neng)让问(wen)题豁(huo)然(ran)开朗。”

小(xiao)雅此(ci)刻已经完全投(tou)入到(dao)思考(kao)之(zhi)中，她(ta)用粉笔在(zai)黑板上写(xie)下了(le)一些(xie)她(ta)尝试(shi)过(guo)的公式和推导，虽然之前(qian)都(dou)走进(jin)了(le)死胡(hu)同(tong)，但现在，她(ta)开始将这些“死胡同(tong)”视为一(yi)种(zhong)信息(xi)，一种排除(chu)的可(ke)能性(xing)。

“我之(zhi)前尝(chang)试用(yong)三角函(han)数来解(jie)决，但(dan)似乎(hu)与题目中(zhong)的条(tiao)件不太(tai)匹(pi)配。但(dan)是，如(ru)果(guo)我(wo)们将(jiang)题目(mu)中的(de)某个(ge)几何(he)图形进行(xing)适当的旋(xuan)转或(huo)者变(bian)形，是否能(neng)让三角(jiao)函数的(de)应用(yong)更加顺畅呢(ne)？”她一边写一(yi)边自言自语(yu)，时(shi)不时地(di)抬(tai)头看(kan)看(kan)黑板，眼(yan)中闪(shan)烁着智(zhi)慧(hui)的(de)光(guang)芒(mang)。

“变形(xing)？这倒是(shi)可以尝(chang)试！”同学们听(ting)到了(le)小雅(ya)的思路，也纷(fen)纷来了灵(ling)感。

“对(dui)了(le)！我(wo)们还(hai)可(ke)以考(kao)虑(lv)一下极限(xian)的(de)思想。”另(ling)一(yi)个(ge)同学突然说道，“如(ru)果我(wo)们将(jiang)某个变量趋(qu)向于无(wu)穷大或者(zhe)无穷(qiong)小，会(hui)不会得到(dao)一些特别的启发？就(jiu)像物理学(xue)中(zhong)的一(yi)些模型(xing)，有时候会简化(hua)到(dao)一种‘理想状(zhuang)态’来分(fen)析。”

“极(ji)限(xian)……这(zhe)个方(fang)向(xiang)也很有趣(qu)！”老教授(shou)适(shi)时地(di)引(yin)导(dao)道，“数(shu)学的很多(duo)分支，都是在极限的(de)基(ji)础(chu)上发(fa)展起(qi)来的。想想(xiang)看，我(wo)们有(you)没有(you)可能(neng)通过构造一个序列(lie)，或者(zhe)一个(ge)函数，来逼(bi)近我们想(xiang)要的(de)结(jie)果(guo)？”

课(ke)堂的讨论(lun)，逐渐变(bian)得热(re)烈(lie)而(er)有(you)序(xu)。不(bu)再是无(wu)头苍蝇般的乱(luan)撞，而是大家围绕着一个核心(xin)问题，从(cong)不同的(de)角度，提出(chu)各种(zhong)各样(yang)的(de)假(jia)设和(he)猜想。有的(de)同学(xue)在尝试(shi)几(ji)何的构(gou)造(zao)，有(you)的在探(tan)索代(dai)数的转化(hua)，有的(de)则在(zai)思考(kao)抽象的数学概(gai)念。

“我(wo)感觉(jue)，这(zhe)道(dao)题可(ke)能需(xu)要用到一些(xie)我(wo)们还(hai)没学过的(de)知识(shi)，或者(zhe)是一些非(fei)常规的技(ji)巧(qiao)。”一(yi)个平(ping)时数学(xue)基础稍显薄弱的(de)学生(sheng)，带着一丝沮丧说道。

“不，不(bu)一定。”老教(jiao)授立(li)刻反(fan)驳(bo)道，“很多(duo)时(shi)候，‘难(nan)题’之所(suo)以难(nan)，不(bu)是因为(wei)我们缺乏知(zhi)识(shi)，而是因为我们(men)没有(you)学会(hui)如何(he)‘组合(he)’已(yi)有的知(zhi)识，如(ru)何‘融(rong)会贯(guan)通’。这道(dao)题(ti)，可能(neng)只需要(yao)你将(jiang)初中、高(gao)中所学的不同知(zhi)识点，用(yong)一种全新的方(fang)式(shi)连(lian)接(jie)起来。”

他(ta)顿了(le)顿，继续说道：“比如(ru)说(shuo)，你们学过(guo)的(de)勾(gou)股定(ding)理、相(xiang)似(shi)三角(jiao)形(xing)，以及(ji)一些基本(ben)的函数性质(zhi)，如(ru)果能够(gou)灵(ling)活运用，并且将其与(yu)题(ti)目(mu)中(zhong)的(de)某个(ge)特殊(shu)条(tiao)件(jian)相结(jie)合，也许(xu)就(jiu)能(neng)找到意想不(bu)到的(de)突破口。这就像(xiang)建(jian)造一(yi)座大厦(sha)，你需要不同的(de)砖(zhuan)瓦、水泥(ni)，但更(geng)需要精巧(qiao)的设(she)计(ji)和(he)建(jian)造(zao)的智(zhi)慧。

”

小雅此(ci)刻(ke)的(de)脸上，已(yi)经(jing)没有(you)了之(zhi)前(qian)的(de)泪痕(hen)，取而(er)代(dai)之(zhi)的(de)是(shi)一种(zhong)专注的神(shen)情。她(ta)时不(bu)时地(di)在黑板上画上新的(de)辅助线(xian)，或(huo)者写下(xia)一(yi)个个(ge)尝试性(xing)的计算(suan)。她的动(dong)作虽然(ran)没(mei)有(you)之(zhi)前那么(me)急切(qie)，但每一(yi)步(bu)都显(xian)得更加谨(jin)慎和有(you)目的性。

“我好像(xiang)……有点(dian)眉(mei)目(mu)了！”她(ta)突然激(ji)动地(di)喊道，“如果我们(men)假设(she)……”

她的(de)话音刚(gang)落(luo)，全班同学(xue)都(dou)安(an)静了(le)下来(lai)，期待(dai)地看(kan)着她。只见(jian)小雅(ya)快速(su)地(di)在黑板(ban)上写下(xia)了一系列步(bu)骤，每(mei)一个(ge)符号(hao)，每一个公(gong)式，都充(chong)满了力(li)量(liang)。她(ta)用清(qing)晰而(er)流畅(chang)的(de)语(yu)言，向大家(jia)解(jie)释着她的思(si)路。

“我采用(yong)了……的几(ji)何变换(huan)，并通(tong)过引(yin)入……这(zhe)个辅助线，将题目中(zhong)的复杂关(guan)系，转化为(wei)了一(yi)个……的方(fang)程(cheng)。然后(hou)，利(li)用……的性(xing)质，我就可(ke)以(yi)一步步地推导出……”

随着(zhe)她的(de)讲解，黑板(ban)上(shang)的公(gong)式和(he)数(shu)字，逐(zhu)渐勾(gou)勒(lei)出(chu)一条清(qing)晰的解(jie)题路(lu)径。同学(xue)们聚(ju)精会神地(di)听(ting)着，偶尔有人发(fa)出惊叹(tan)，或(huo)者在(zai)自己的笔记本(ben)上(shang)快速(su)记录。

“太(tai)棒了！小(xiao)雅，你(ni)的(de)思路(lu)太清晰了！”

“原来是这(zhe)样！我(wo)之前(qian)怎(zen)么没(mei)想(xiang)到这(zhe)个角度呢(ne)？”

“这(zhe)简(jian)直是(shi)神来(lai)之笔！”

当小雅(ya)最(zui)终写(xie)下答(da)案时(shi)，整个(ge)教(jiao)室响起(qi)了雷(lei)鸣般(ban)的掌声(sheng)。那(na)道曾经让(rang)大家束手无(wu)策(ce)的“深(shen)不可测”的(de)难题，终于(yu)被征(zheng)服了(le)。小雅脸上露(lu)出(chu)了如(ru)释重(zhong)负(fu)的(de)笑容，她看(kan)着同(tong)学(xue)们(men)，眼中充满(man)了(le)感激和(he)喜悦(yue)。

“谢(xie)谢(xie)大(da)家！如果(guo)不(bu)是(shi)你们(men)的提(ti)醒(xing)和(he)启发(fa)，我可(ke)能真的会(hui)一(yi)直(zhi)被(bei)困住。”她(ta)真诚(cheng)地(di)说(shuo)道。

老教授(shou)也露出了(le)欣慰的笑(xiao)容：“看到(dao)了(le)吗？这(zhe)就是(shi)集(ji)体(ti)的智慧(hui)。一(yi)道难(nan)题，它可能(neng)是(shi)一(yi)个挑战，但(dan)它更(geng)是一(yi)个机(ji)会，一(yi)个(ge)让我们(men)互相学(xue)习(xi)、共同(tong)进步的(de)机会。小(xiao)雅的崩溃，提醒(xing)了我(wo)们，数学(xue)并非总是轻(qing)松愉(yu)快的(de)；而你们(men)的(de)讨论和启(qi)发，则(ze)证明了(le)，只(zhi)要(yao)我(wo)们齐心(xin)协(xie)力，就(jiu)没(mei)有克服不了(le)的(de)困难(nan)。

”

他(ta)继续(xu)总结(jie)道：“今天，我(wo)们不仅(jin)仅(jin)是解(jie)决了(le)一道(dao)数(shu)学(xue)题，我们还学会(hui)了如何(he)面对挫折，如何转换思(si)维(wei)，如(ru)何(he)运用(yong)集(ji)体(ti)的力量(liang)去解(jie)决(jue)问(wen)题。这(zhe)比任(ren)何一(yi)个(ge)固(gu)定的答案，都更加宝(bao)贵。”

教室(shi)里(li)，同学(xue)们(men)望着黑板上(shang)清晰(xi)的解题步骤，感(gan)受着(zhe)内心(xin)涌(yong)动(dong)的成就感(gan)。他们知道(dao)，这次(ci)经历，将(jiang)成(cheng)为他们学(xue)习生涯中(zhong)一次难忘(wang)的(de)财(cai)富。那道让课代表哭泣的难题(ti)，最终(zhong)成为了他(ta)们共同突破的(de)里(li)程碑(bei)。他们需(xu)要的(de)，不仅仅(jin)是(shi)更(geng)多的解法，更(geng)是面对(dui)难题时(shi)，那(na)份不屈不挠(nao)的探(tan)索(suo)精神和团结(jie)协作(zuo)的力(li)量。

数(shu)学(xue)的(de)魅力(li)，在这场“泪水(shui)与(yu)智慧(hui)”的碰(peng)撞中，得到了最生(sheng)动(dong)的诠释。

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图片来源：每经记者 陈冬率 摄

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