每经编辑｜陆应果    

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揭(jie)开数字(zi)的(de)面(mian)纱(sha)：78和13的“亲(qin)密关(guan)系”初(chu)探

数字，如同宇(yu)宙(zhou)中的(de)星(xing)辰(chen)，点缀着(zhe)我们(men)生(sheng)活(huo)的(de)夜(ye)空。它(ta)们看(kan)似冰(bing)冷而(er)抽象，实(shi)则(ze)蕴含(han)着无限的规律(lv)与奥秘。今天，我(wo)们(men)将(jiang)以(yi)“78和13的(de)最大公(gong)因数和最(zui)小公倍数是多少-百(bai)度(du)知(zhi)道”为(wei)引子，踏(ta)上(shang)一段(duan)探索数字(zi)“亲密(mi)关(guan)系”的(de)奇(qi)妙旅程。这(zhe)不仅是对(dui)两个具体(ti)数字(zi)的(de)探(tan)究(jiu)，更是对(dui)数论(lun)fundamental概念(nian)的(de)一(yi)次深(shen)入(ru)理解，一(yi)次让你(ni)摆(bai)脱数(shu)学困(kun)扰，重(zhong)拾学(xue)习信心的契机(ji)。

你(ni)是(shi)否曾经(jing)在(zai)面对数学(xue)题时(shi)感到头疼，特别(bie)是当“最大公因数(shu)”和(he)“最小(xiao)公倍(bei)数”这些词汇跳(tiao)出来时(shi)？它(ta)们听(ting)起(qi)来是(shi)不(bu)是像(xiang)古老(lao)咒(zhou)语(yu)，让人望而(er)生畏？别担(dan)心，你(ni)不是一个(ge)人。许多人(ren)在(zai)学(xue)习数(shu)学(xue)的(de)道路(lu)上都会遇到类(lei)似的“拦路(lu)虎”。正(zheng)如任何难题都有其破解(jie)之道(dao)，数学的(de)奥秘也(ye)隐藏(cang)在清晰的(de)逻辑(ji)和系统的(de)方法(fa)之(zhi)中。

今(jin)天(tian)，我们就从(cong)78和13这(zhe)两个数字开(kai)始，一步(bu)步解开它(ta)们的(de)最(zui)大(da)公因(yin)数和(he)最(zui)小(xiao)公(gong)倍数(shu)的谜(mi)团，并在(zai)这个过程(cheng)中，发(fa)现(xian)数(shu)学的(de)逻辑(ji)之美和实用价值。

让(rang)我们认识(shi)一下(xia)今天的主(zhu)角：78和(he)13。它(ta)们(men)只是(shi)两个普(pu)通(tong)的整数(shu)，但(dan)它们之间(jian)却有着千(qian)丝万(wan)缕的(de)联(lian)系(xi)，这些(xie)联系就体现在(zai)它(ta)们共同(tong)的“因(yin)子(zi)”和(he)“倍数”上(shang)。理(li)解“因数”和“倍数(shu)”是掌握“最(zui)大公(gong)因(yin)数(shu)”和“最小公(gong)倍数”的(de)关键。

因数：数(shu)字(zi)的“积木(mu)块”

一个数，如果(guo)能(neng)被另(ling)一个数整除，那么被(bei)除的数(shu)就(jiu)是(shi)除数(shu)的“倍数(shu)”，而(er)除(chu)数就是被(bei)除(chu)数(shu)的(de)“因(yin)数(shu)”。我们可以把因(yin)数(shu)想(xiang)象成(cheng)构成(cheng)一个数字(zi)的(de)基本“积木块(kuai)”。例如，12的(de)因(yin)数有(you)1,2,3,4,6,12。这意(yi)味着(zhe)12可以(yi)由这些数(shu)字通(tong)过乘法(fa)组合而(er)成（比(bi)如(ru)2×6=12，3×4=12）。

倍(bei)数：数(shu)字的“放(fang)大镜(jing)”

而(er)倍(bei)数，则是(shi)将一个数(shu)字(zi)进行“放(fang)大”的(de)结果，是通过(guo)将这个(ge)数字(zi)乘以一个整(zheng)数得到(dao)的(de)。例如，12的(de)倍数(shu)有12,24,36,48……（12×1,12×2,12×3,12×4）。

现在(zai)，让(rang)我(wo)们(men)聚焦到78和(he)13。

寻找78的(de)“积木块(kuai)”：

78是一(yi)个偶数(shu)，所(suo)以它至少(shao)有2这(zhe)个(ge)因数(shu)。78÷2=3939可以被(bei)3整除：39÷3=1313是一(yi)个(ge)质数，它的(de)因(yin)数只(zhi)有1和它本身(shen)。

所(suo)以，78的因(yin)数有(you)：1,2,3,6,13,26,39,78。

寻找13的(de)“积木(mu)块”：

13是一(yi)个(ge)质数，它的(de)因数只有(you)：1,13。

公因(yin)数：共享的“积木(mu)块”

“公因数”顾名(ming)思义(yi)，就是两个(ge)或(huo)多个数字共(gong)同拥有的因数(shu)。它们是两个数字(zi)都(dou)可以被整除的(de)数。

现(xian)在，我(wo)们比(bi)较78和13的因(yin)数列(lie)表(biao)：78的因数(shu)：{1,2,3,6,13,26,39,78}13的(de)因数：{1,13}

它们共同拥有的(de)因数是什么呢？仔细(xi)看，是(shi)1和(he)13。所(suo)以，78和13的公因(yin)数有1和(he)13。

最大(da)公因数(shu)(GCD)：最(zui)大(da)的(de)共(gong)享(xiang)“积木(mu)块(kuai)”

“最大(da)公因数(shu)”（GreatestCommonDivisor,GCD），就是(shi)所有(you)公因(yin)数中最(zui)大的那(na)个。它在数(shu)学(xue)中(zhong)扮演着重(zhong)要的(de)角色(se)，例如在约(yue)分(fen)分数时，使用最(zui)大(da)公因数可(ke)以一(yi)步到位(wei)，大(da)大简化(hua)计算(suan)。

从我们(men)刚才(cai)找到(dao)的公因(yin)数1和13中(zhong)，最(zui)大的那个显(xian)然是(shi)13。因此，78和(he)13的最大(da)公因(yin)数(shu)是(shi)13。

这(zhe)里我(wo)们发现(xian)了一个(ge)有趣(qu)的(de)现(xian)象：13是(shi)13的(de)因数(shu)，同时也(ye)是(shi)78的因数。当(dang)一个(ge)数是(shi)另(ling)一个数(shu)的因数时，较小的那(na)个数(shu)就是它们(men)的最大公因数(shu)。这就(jiu)像一(yi)把(ba)钥(yao)匙（13）正(zheng)好(hao)能打开(kai)两把锁（78和(he)13），而且它是能打开这(zhe)两把锁的所有(you)钥(yao)匙(shi)中最(zui)大的(de)一把。

理解“公倍(bei)数”：共同的“放大(da)镜”

与“公(gong)因数”相(xiang)对的是(shi)“公倍数(shu)”。“公倍数(shu)”是(shi)指两(liang)个或多(duo)个(ge)数字(zi)共(gong)同拥有的倍数(shu)。它(ta)们是两个(ge)数字都(dou)可以(yi)整(zheng)除的数。

寻(xun)找78的(de)倍数(shu)：78,156,234,312,390,468,546,624,702,780,858,936,1014,1092,1170,1248,1326,1404,1482,1560,…

寻找13的(de)倍数：13,26,39,52,65,78,91,104,117,130,143,156,169,182,195,208,221,234,247,260,273,286,299,312,325,338,351,364,377,390,…

公(gong)倍数：共享(xiang)的(de)“放大(da)结果(guo)”

通(tong)过观察上(shang)面(mian)的(de)两个列(lie)表，我们可以发现一些(xie)共同出(chu)现的数(shu)字(zi)，它(ta)们(men)就是78和(he)13的(de)公(gong)倍数。例(li)如(ru)：

78(13×6=78,78×1=78)156(13×12=156,78×2=156)234(13×18=234,78×3=234)312(13×24=312,78×4=312)390(13×30=390,78×5=390)…

最小公(gong)倍(bei)数(LCM)：最(zui)小(xiao)的共(gong)享(xiang)“放大结果”

“最小(xiao)公倍(bei)数(shu)”（LeastCommonMultiple,LCM），就(jiu)是(shi)所(suo)有(you)公(gong)倍数中最(zui)小(xiao)的那个。最(zui)小(xiao)公倍(bei)数(shu)在(zai)解(jie)决一些(xie)实际问(wen)题(ti)中非(fei)常有用，比(bi)如计(ji)算周期(qi)性(xing)事件(jian)何时会同时发(fa)生。

从(cong)我们(men)刚才(cai)找到(dao)的公倍数(shu)列(lie)表中(zhong)，最小的(de)那个就是(shi)78。因(yin)此(ci)，78和13的最小公倍(bei)数是78。

在这里，我(wo)们又(you)一次看到(dao)了78和(he)13的(de)特殊关(guan)系。因为(wei)78是13的倍数（78÷13=6），所以78本(ben)身就(jiu)是它们最小(xiao)的(de)公(gong)倍(bei)数(shu)。这就像(xiang)你有(you)一个(ge)小(xiao)闹(nao)钟（13）和(he)一个(ge)大闹(nao)钟（78），大闹钟(zhong)每响一(yi)次(ci)，小闹(nao)钟已(yi)经响(xiang)了(le)六(liu)次(ci)。它(ta)们(men)第一次(ci)同时(shi)响，就是(shi)大(da)闹钟响的那(na)一(yi)刻，也就是(shi)78。

小(xiao)结：78和(he)13的(de)“秘密(mi)”

经过(guo)一番探索，我们揭开了78和(he)13的(de)最大公(gong)因数与最(zui)小公(gong)倍数(shu)的面纱：

最(zui)大公(gong)因数(GCD)：13最小(xiao)公(gong)倍数(shu)(LCM)：78

这次(ci)的(de)探索(suo)，不仅仅是(shi)简单(dan)的计(ji)算，更(geng)是对(dui)数(shu)论(lun)基本概念(nian)的理解。我(wo)们明(ming)白了(le)因数(shu)、倍数(shu)、公因数(shu)、公倍数这些(xie)概念(nian)是(shi)如(ru)何(he)相(xiang)互关(guan)联(lian)的。特别(bie)地，我们发现了当一(yi)个数是另(ling)一个(ge)数的(de)倍(bei)数(shu)时，它(ta)们(men)的(de)最(zui)大(da)公因(yin)数(shu)是(shi)较(jiao)小的那(na)个数，最小公倍(bei)数是(shi)较(jiao)大的(de)那(na)个(ge)数(shu)。这个(ge)规律在解(jie)决许多数(shu)学问(wen)题时(shi)都能(neng)帮上(shang)大忙。

下一(yi)部分，我(wo)们将深(shen)入探讨寻(xun)找最大(da)公因数和最(zui)小公(gong)倍(bei)数(shu)的更(geng)一般(ban)化方(fang)法，以(yi)及它(ta)们(men)在(zai)现实(shi)生活(huo)中的(de)应(ying)用(yong)，让(rang)你真(zhen)正体会(hui)到数学(xue)的魅力(li)和(he)实(shi)用(yong)性。

算法(fa)的力量：78和13的最(zui)大公因数与(yu)最(zui)小公倍数(shu)背(bei)后(hou)的(de)逻(luo)辑

在第一(yi)部分，我们(men)通过(guo)列举因数和倍(bei)数的方法(fa)，直观地找(zhao)到(dao)了(le)78和13的(de)最大(da)公(gong)因(yin)数（13）和(he)最小(xiao)公倍数（78）。这(zhe)种方法对于(yu)较小(xiao)的(de)数字(zi)来(lai)说(shuo)是直(zhi)观(guan)有效的(de)，但当数字变得(de)越来越大时，列(lie)举法就(jiu)会(hui)显得(de)繁(fan)琐且容(rong)易(yi)出(chu)错。幸运(yun)的是，数(shu)学(xue)家们为我们(men)提供了更(geng)高效(xiao)、更通(tong)用的(de)算法(fa)来解(jie)决这(zhe)个问(wen)题。

今天，我(wo)们将(jiang)深入了解这些(xie)算法，并(bing)通(tong)过78和(he)13这个(ge)例(li)子(zi)，进一(yi)步巩固(gu)我(wo)们对最大(da)公(gong)因数和(he)最小(xiao)公(gong)倍(bei)数的(de)理解。

欧几(ji)里得(de)算(suan)法：寻(xun)找(zhao)最(zui)大公因数的(de)“高效捷径(jing)”

欧几(ji)里得(de)算法(fa)（EuclideanAlgorithm）是一种(zhong)古(gu)老(lao)而又极其(qi)高(gao)效的(de)求两(liang)个整数(shu)最大公(gong)因数(shu)的方法(fa)。它的核(he)心思想是：两(liang)个(ge)整数a和b（假设(she)a>b）的(de)最大(da)公(gong)因(yin)数(shu)等(deng)于b和(he)a除以(yi)b的余(yu)数的最大公因数。这个过程不断重(zhong)复，直(zhi)到余(yu)数为(wei)0，此时的除(chu)数就是原始两(liang)个(ge)数(shu)的(de)最大公因(yin)数。

让我(wo)们用(yong)78和13来演示欧几(ji)里得(de)算(suan)法：

第一(yi)步：用(yong)较大(da)的数(shu)（78）除以较小(xiao)的数(shu)（13），找出(chu)余数。78÷13=6，余数(shu)是0。

等等！当余数(shu)是0的(de)时候(hou)，就(jiu)意(yi)味着什(shen)么？这意(yi)味着13能(neng)被78整除(chu)，或者(zhe)说13是78的(de)因数(shu)。在欧(ou)几里得(de)算(suan)法的(de)迭代过(guo)程中(zhong)，一旦出现(xian)余数(shu)为0，那么上(shang)一步(bu)的除(chu)数(shu)（也(ye)就(jiu)是我们本例(li)中的(de)13）就是这(zhe)两(liang)个数的(de)最大公(gong)因数(shu)。

哇！这一次，算法直接(jie)一步(bu)到(dao)位(wei)，比我们(men)之(zhi)前通过(guo)列(lie)举(ju)因(yin)数(shu)的(de)方法还要(yao)迅速！这充(chong)分展(zhan)现了(le)欧几里(li)得(de)算(suan)法的强(qiang)大之(zhi)处(chu)。

回(hui)顾一下：78÷13=6…0因为余数为0，所以(yi)78和13的(de)最大公因(yin)数是(shi)13。

这(zhe)种(zhong)方法(fa)的简(jian)洁(jie)性令人(ren)惊叹(tan)。当(dang)一(yi)个数能够(gou)整(zheng)除另一(yi)个数(shu)时(shi)，较小的(de)数(shu)就(jiu)是它们(men)的(de)最大公因(yin)数。欧(ou)几里得算法在(zai)这种情(qing)况(kuang)下，也以最(zui)直接的方式揭(jie)示了这一(yi)规律。

质(zhi)因(yin)数分(fen)解(jie)法：探(tan)寻(xun)数字(zi)的“本(ben)源”

另(ling)一(yi)种(zhong)常用的方(fang)法是(shi)质因(yin)数(shu)分解法(fa)。我们将(jiang)每(mei)个数(shu)分解(jie)成其质因(yin)数的乘(cheng)积(ji)，然后(hou)通过比较这(zhe)些(xie)质因(yin)数(shu)来(lai)找到最(zui)大公因数和(he)最小(xiao)公倍(bei)数。

分(fen)解78的质(zhi)因(yin)数：78÷2=3939÷3=1313÷13=1所以，78=2×3×13

分(fen)解(jie)13的(de)质因(yin)数(shu)：13是(shi)一个(ge)质数(shu)，所以(yi)它的质因数分解(jie)就(jiu)是它(ta)本身(shen)：13=13

寻找(zhao)最大(da)公因数(shu)(GCD)：最大公(gong)因数(shu)是所有(you)公有的(de)质(zhi)因数(shu)的(de)乘积。比较78(2×3×13)和13(13)的(de)质因数，它(ta)们共同拥有的(de)质(zhi)因(yin)数(shu)只(zhi)有(you)13。所以，78和(he)13的最大(da)公因数(shu)是13。

寻(xun)找最(zui)小公(gong)倍数(shu)(LCM)：最(zui)小公倍(bei)数是(shi)所有(you)出现的质(zhi)因(yin)数（包括(kuo)公(gong)有(you)的和独有(you)的）的最高次幂的乘积。78的质因(yin)数(shu)：2,3,1313的(de)质(zhi)因数：13它(ta)们(men)出(chu)现的质因(yin)数有：2,3,13。在(zai)78的(de)分解(jie)中，2出现了一(yi)次(ci)，3出现了一(yi)次，13出现了一次。

在13的分解中，13出(chu)现了一次(ci)。取(qu)所(suo)有质(zhi)因(yin)数的最(zui)高次数：2的(de)最高(gao)次数是(shi)1(来自78)3的最高(gao)次数是1(来(lai)自78)13的(de)最高次(ci)数(shu)是1(来自78和13)

所以(yi)，最(zui)小(xiao)公倍数=2?×3?×13?=2×3×13=78。

质(zhi)因数(shu)分解(jie)法清(qing)晰(xi)地(di)展示了(le)数(shu)字的(de)构成(cheng)，通过(guo)比较(jiao)它们(men)的“积木(mu)块(kuai)”，我们能够准确(que)地找到它们的(de)最大(da)公因数和(he)最(zui)小(xiao)公倍数。

最大公(gong)因数(shu)与最(zui)小(xiao)公倍数的关系：一个(ge)神奇的(de)等(deng)式(shi)

在解决完最(zui)大(da)公(gong)因(yin)数和(he)最(zui)小公倍(bei)数之(zhi)后(hou)，我们来(lai)揭示一个在(zai)数(shu)论中(zhong)非(fei)常(chang)重要(yao)的关(guan)系：对于任意两(liang)个正整(zheng)数a和b，它们的最大(da)公因(yin)数(GCD)与最小公倍(bei)数(LCM)的(de)乘积等于(yu)这两(liang)个数的乘(cheng)积本身(shen)。

即(ji)：GCD(a,b)×LCM(a,b)=a×b

让(rang)我(wo)们用(yong)78和13来(lai)验证(zheng)这个等式：

a=78b=13GCD(78,13)=13LCM(78,13)=78

左边：GCD(78,13)×LCM(78,13)=13×78右(you)边(bian)：78×13

可以(yi)看到(dao)，左边(bian)等于(yu)右边，等式成立！13×78=1014，而(er)78×13=1014。

这(zhe)个关系(xi)在(zai)计算(suan)最小公(gong)倍数时(shi)非常有(you)用。如果(guo)我(wo)们(men)已(yi)经求出(chu)了最大(da)公因(yin)数(shu)，就可(ke)以(yi)利用这(zhe)个公(gong)式来快速计算(suan)最(zui)小(xiao)公倍(bei)数，而无(wu)需(xu)进行(xing)复杂(za)的倍(bei)数(shu)累(lei)加(jia)或(huo)质因数分(fen)解(jie)。

数学的实用价值：从(cong)78和(he)13看现实生(sheng)活

你可能(neng)会问(wen)，这些(xie)“最大公因(yin)数”和“最(zui)小(xiao)公倍(bei)数”在(zai)生活(huo)中(zhong)有什么(me)用呢(ne)？它们(men)听(ting)起来(lai)似(shi)乎(hu)只存(cun)在于数(shu)学课本中(zhong)。其实不然(ran)，它们的应(ying)用非常广(guang)泛，甚至可(ke)以说无处(chu)不在(zai)。

分(fen)数(shu)约分(fen)：当你(ni)需要简化(hua)分数时(shi)，比如78/13，你(ni)就可以找(zhao)到(dao)它(ta)们的最(zui)大公(gong)因(yin)数13，然(ran)后用(yong)分子(zi)和分母(mu)同时除(chu)以(yi)13，得(de)到(dao)6/1，也(ye)就(jiu)是(shi)6。这比(bi)你一(yi)点点尝(chang)试(shi)约分(fen)要快(kuai)得多。行程(cheng)规(gui)划(hua)：假设(she)你(ni)有两辆(liang)车(che)，一(yi)辆(liang)每(mei)隔78分钟需要加(jia)油，另(ling)一(yi)辆每隔13分钟(zhong)需(xu)要(yao)加油(you)。

你想(xiang)知(zhi)道(dao)它们(men)多久(jiu)会同(tong)时需(xu)要加(jia)油。这(zhe)时(shi)，你(ni)需(xu)要的不是最大公(gong)因数(shu)，而是(shi)最小公(gong)倍数。78和(he)13的最(zui)小公(gong)倍(bei)数(shu)是(shi)78，所(suo)以它(ta)们每(mei)隔78分钟就会同(tong)时需(xu)要(yao)加(jia)油(you)。齿轮(lun)和(he)周(zhou)期：在机(ji)械设(she)计中，两(liang)个齿轮(lun)的齿数决(jue)定了(le)它们(men)转动的同(tong)步性。如(ru)果(guo)两个(ge)齿轮的齿数分别是78和(he)13，那(na)么(me)它(ta)们什(shen)么时(shi)候能回(hui)到初(chu)始的相(xiang)对位置？这就(jiu)涉(she)及到最小(xiao)公倍(bei)数。

计算(suan)机科(ke)学(xue)：在算法设计、数(shu)据(ju)结构以(yi)及密(mi)码(ma)学(xue)等领域(yu)，最(zui)大公(gong)因数和最(zui)小公倍(bei)数(shu)都扮演着(zhe)核心角色(se)。例(li)如，在设(she)计哈(ha)希表时(shi)，如何均匀(yun)地分(fen)配(pei)数据(ju)，就可能用(yong)到它(ta)们。

结语：数学(xue)的(de)魅力，尽在掌握(wo)

通过(guo)对78和13的最大公(gong)因数(shu)与最(zui)小公(gong)倍数(shu)的探讨，我(wo)们不仅解决了具体(ti)的数学问题，更(geng)重要(yao)的(de)是(shi)，我(wo)们(men)体(ti)验(yan)了数学的逻(luo)辑(ji)之美(mei)和算(suan)法的强大。从直观的(de)列举法，到高(gao)效(xiao)的欧几里(li)得算(suan)法，再到揭(jie)示数(shu)字本(ben)质(zhi)的(de)质因(yin)数(shu)分(fen)解法，以及它们(men)之间的奇(qi)妙关系，数(shu)学的(de)脉络(luo)在清晰的(de)逻(luo)辑中(zhong)层层展(zhan)开。

“78和(he)13的最(zui)大公(gong)因数(shu)和最(zui)小公倍数(shu)是多少-百(bai)度(du)知(zhi)道(dao)”这(zhe)样一个看(kan)似简(jian)单的问题，却能引导(dao)我们(men)深入到数(shu)论的广阔天地(di)。希(xi)望(wang)今天(tian)的探索(suo)，能(neng)够帮助你(ni)拨(bo)开数学学习(xi)中的(de)迷雾(wu)，让(rang)你(ni)看到数学(xue)并非高不可(ke)攀，而是(shi)充满了趣(qu)味(wei)和(he)实(shi)用价(jia)值。掌握了这(zhe)些基本概(gai)念和方法，你将(jiang)能更(geng)自信地面对(dui)未(wei)来(lai)的(de)数学挑(tiao)战(zhan)，并(bing)在解(jie)决(jue)问题的过(guo)程中(zhong)，体会到(dao)数学带(dai)来的智(zhi)慧与乐(le)趣。

下(xia)一次遇到(dao)类(lei)似(shi)的数学(xue)问(wen)题，你(ni)不妨试试(shi)用今天学到的(de)方(fang)法(fa)，你(ni)会发(fa)现(xian)，数学的奥秘，就在你手中(zhong)，等你(ni)来一一揭晓。

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图片来源：每经记者 钟宜华 摄

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