每经编辑｜陈丽    

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“太深了！这道题简直太深了！”

教(jiao)室里，传来(lai)一阵(zhen)压抑(yi)不(bu)住的哭(ku)腔，打(da)破了原(yuan)本(ben)还算平(ping)静(jing)的课(ke)堂气氛。所有人(ren)的目(mu)光瞬间聚(ju)焦在讲台中央。数(shu)学课代(dai)表小(xiao)雅，那个平(ping)时总(zong)是自信满(man)满、成(cheng)绩(ji)名列前茅的(de)女孩(hai)，此刻却两(liang)眼含(han)泪，肩(jian)膀微(wei)微颤(chan)抖，手中紧(jin)握的粉(fen)笔(bi)头(tou)在(zai)讲台上留下一(yi)道道白色的痕(hen)迹(ji)，仿(fang)佛是她内(nei)心(xin)无助的宣(xuan)泄(xie)。

“这……这题到底怎(zen)么做啊(a)？”她(ta)哽咽着，声音带着一(yi)丝绝望(wang)，“我……我尝(chang)试了所有(you)我能(neng)想到(dao)的(de)方(fang)法(fa)，代数法、几(ji)何法、甚至……甚(shen)至我还试(shi)着画了(le)图(tu)，但(dan)……它(ta)就像一(yi)个(ge)无底(di)洞，我(wo)怎么也找(zhao)不到(dao)出口(kou)！”

空气(qi)中弥漫着(zhe)一种(zhong)难以言喻的尴尬与震惊。任(ren)课(ke)老师(shi)，一位经验丰富、素来以沉(chen)稳著(zhu)称(cheng)的(de)老(lao)教(jiao)授，此刻(ke)也皱起(qi)了眉(mei)头，眼神中流(liu)露出几分诧异。他(ta)缓步(bu)走到(dao)小雅身(shen)边，轻轻(qing)拍了(le)拍她的肩(jian)膀，温声说道：“小(xiao)雅，别急(ji)，我们一(yi)起想想(xiang)办(ban)法。”

即(ji)便是(shi)老教(jiao)授，在(zai)审视(shi)了黑(hei)板上(shang)那道(dao)题(ti)目后，也忍不(bu)住发出一(yi)声轻(qing)微(wei)的(de)叹(tan)息。这(zhe)道(dao)题(ti)，确实(shi)不(bu)寻常。它并(bing)非课(ke)本(ben)上常(chang)见的例(li)题，也(ye)不是(shi)老师(shi)平时留(liu)下(xia)的练习题，而是他(ta)从(cong)一本(ben)国(guo)外(wai)数学(xue)竞赛(sai)的题目集(ji)里挑(tiao)选出(chu)来(lai)的(de)，旨在挑战(zhan)学生的思(si)维极限，激(ji)发他(ta)们(men)对(dui)数学(xue)更深层(ceng)次的探索。

题(ti)目本身以其简洁的文(wen)字和看(kan)似朴(pu)素(su)的(de)表述，隐(yin)藏着(zhe)一(yi)个极(ji)其复杂的数(shu)学(xue)结(jie)构，它要(yao)求的(de)不(bu)只(zhi)是(shi)熟练的(de)公(gong)式运用(yong)，更需(xu)要非凡的洞察力(li)和创造性的解题(ti)思路(lu)。

“这道(dao)题(ti)……它的条(tiao)件似乎(hu)很(hen)有限(xian)，但它所蕴含的(de)数学关系却(que)错(cuo)综(zong)复杂。”一(yi)位(wei)平(ping)时沉(chen)默(mo)寡(gua)言的(de)同学低(di)声(sheng)说道(dao)，“我(wo)感觉它像一(yi)个迷(mi)宫，每条路(lu)都通向(xiang)更(geng)深的未(wei)知。”

“是啊，我感(gan)觉(jue)我的脑(nao)子都快要炸(zha)了。”另一(yi)位同学揉着(zhe)太(tai)阳(yang)穴(xue)，脸上(shang)写满(man)了疲(pi)惫(bei)，“我(wo)甚至开始(shi)怀(huai)疑(yi)自己(ji)的(de)数学能力了(le)，是不(bu)是(shi)我根(gen)本(ben)就(jiu)没有(you)这(zhe)方面(mian)的天赋？”

一时间(jian)，教室(shi)里议(yi)论纷(fen)纷，各(ge)种猜(cai)测、惊(jing)叹、甚至(zhi)还(hai)有些(xie)许自(zi)我怀(huai)疑(yi)的(de)声(sheng)音交(jiao)织(zhi)在一起。平(ping)日里，数学课总是按部(bu)就(jiu)班，知识点的讲(jiang)解(jie)、例(li)题的分析(xi)、习(xi)题的巩固，一切似(shi)乎都(dou)在(zai)掌(zhang)控之(zhi)中。而(er)现在(zai)，一(yi)道突如(ru)其来(lai)的难(nan)题，如同一(yi)块巨(ju)石(shi)投(tou)入平(ping)静的湖(hu)面，激起了层层涟漪，甚(shen)至让一些(xie)学生感到了(le)前(qian)所未(wei)有(you)的压力(li)和挫(cuo)败感(gan)。

小雅(ya)的眼(yan)泪并(bing)没有(you)因(yin)为(wei)老(lao)师的安慰(wei)而(er)停止，反而越流(liu)越凶(xiong)。她(ta)是(shi)一名(ming)优秀(xiu)的数学(xue)课(ke)代(dai)表，肩负着同(tong)学(xue)们的(de)信任(ren)和(he)老师的期(qi)望。她(ta)习惯了成为解答者，习(xi)惯(guan)了带(dai)领同学(xue)们(men)攻克(ke)难(nan)关。而此(ci)刻，她(ta)自己却被一道难题(ti)深(shen)深地绊住，这(zhe)种无(wu)力感(gan)，对她来(lai)说(shuo)无疑(yi)是一(yi)种巨大的(de)打(da)击。

“我……我(wo)让大家失(shi)望(wang)了。”她抽(chou)泣(qi)着(zhe)，声(sheng)音(yin)更加(jia)沙哑。

“不，小雅，你(ni)没有(you)。”老教(jiao)授温(wen)和(he)地打断了她(ta)，“你敢(gan)于面对(dui)难(nan)题(ti)，敢(gan)于承认自(zi)己的困惑(huo)，这本(ben)身(shen)就(jiu)是(shi)一种(zhong)勇(yong)敢。你(ni)看，你(ni)哭(ku)泣(qi)的样(yang)子(zi)，也让大(da)家看(kan)到了(le)数学的(de)另(ling)一(yi)面——它不(bu)是冷(leng)冰冰的(de)公(gong)式，它也(ye)会让人(ren)感到兴奋、痛苦(ku)，但(dan)最终，也能带来(lai)巨大的成就(jiu)感。”

他(ta)转向(xiang)全(quan)班(ban)同学，朗声(sheng)说道(dao)：“同学(xue)们(men)，我(wo)们(men)今(jin)天遇到了(le)一道(dao)非常有挑战性(xing)的题目。这道(dao)题目，不仅仅是对(dui)我们知(zhi)识(shi)储备(bei)的考验，更(geng)是对(dui)我们思维能力、解(jie)决(jue)问题能力(li)的一次(ci)深(shen)度淬炼。小雅(ya)刚才的(de)反应(ying)，也(ye)恰恰说(shuo)明(ming)了这道题的(de)难度和它带给我们(men)的(de)冲(chong)击(ji)。但(dan)请大(da)家记住，真(zhen)正的(de)学习，往往(wang)就发生(sheng)在这样(yang)的‘卡点(dian)’和‘难点(dian)’之中。

”

教室里的(de)气(qi)氛(fen)，在(zai)老师的(de)一番话后(hou)，发生(sheng)了一(yi)些微妙的(de)变(bian)化(hua)。同(tong)学们不(bu)再只是被(bei)动地(di)感受压力(li)，而是(shi)开始(shi)尝试理(li)解(jie)这道(dao)题(ti)的意(yi)义。他们看到了(le)课(ke)代表的崩溃，也(ye)听到(dao)了老师的(de)鼓励(li)。这种(zhong)集体(ti)性的(de)挑战，让他(ta)们意识(shi)到(dao)，自(zi)己并非孤军(jun)奋战(zhan)。

“教授(shou)，这(zhe)道(dao)题(ti)到底有多难？它(ta)为(wei)什么这么(me)‘深’？”一(yi)位(wei)平(ping)时(shi)对(dui)数(shu)学(xue)充满好奇(qi)的学生举手(shou)问道(dao)。

老(lao)教授笑了(le)笑：“‘深’，是因(yin)为(wei)它触(chu)及(ji)到了(le)数学的本(ben)质。它(ta)不是(shi)简单(dan)地套用公式，而(er)是需(xu)要(yao)你对数(shu)学概念有深刻(ke)的理(li)解，并(bing)且(qie)能(neng)够灵活(huo)地(di)运用(yong)这些(xie)概念(nian)去构(gou)建新的解(jie)决方案(an)。它(ta)需要(yao)我们(men)跳出(chu)固(gu)有(you)的思维(wei)模式，用(yong)一种(zhong)全新的(de)视(shi)角(jiao)去(qu)审(shen)视(shi)问题(ti)。”

他继(ji)续说道：“这道题(ti)，可能没(mei)有一个(ge)现成的(de)公(gong)式(shi)可(ke)以直接套用，它更像(xiang)是需要我(wo)们自(zi)己去‘创(chuang)造(zao)’解题的工具。这(zhe)正是(shi)数(shu)学(xue)的魅力所在(zai)，它(ta)不(bu)仅(jin)仅是计算，更是(shi)创(chuang)造。”

小雅也(ye)止(zhi)住了哭(ku)泣，她(ta)抬(tai)起泪眼模(mo)糊的(de)脸，看着黑板上(shang)的(de)题(ti)目(mu)，眼(yan)神中重新燃(ran)起了一(yi)丝光芒。她(ta)知道(dao)，自己(ji)不能永远(yuan)被困在这里，她需(xu)要站(zhan)起(qi)来，和(he)同(tong)学们(men)一起(qi)，去寻找那条通(tong)往(wang)答案(an)的道(dao)路。

“我(wo)……我愿(yuan)意再试一次。”她深(shen)吸(xi)一口气，擦干眼(yan)泪，重(zhong)新拿起了粉笔(bi)。

教室(shi)里，一(yi)种不(bu)同于以往的氛(fen)围在(zai)悄然(ran)滋生(sheng)。这不是一个简(jian)单的数学题解(jie)答过程，而是一(yi)场关于挑战、关(guan)于勇(yong)气(qi)、关(guan)于智(zhi)慧的集体探索(suo)。每个人(ren)都(dou)在这场“深(shen)不(bu)可(ke)测”的(de)难题(ti)面(mian)前，重(zhong)新(xin)审视(shi)着(zhe)自己与(yu)数(shu)学的关系。

“既(ji)然直(zhi)接(jie)的解法行不通，那我们(men)能不能换个角(jiao)度思(si)考？”

老(lao)教授(shou)的话(hua)，如同一盏(zhan)明灯，驱散(san)了(le)笼(long)罩在(zai)教室(shi)里的(de)迷茫(mang)。同(tong)学们你(ni)一言(yan)我一语(yu)，将(jiang)刚才的(de)震(zhen)惊和(he)沮丧(sang)，转化为一(yi)股涌动(dong)的(de)思考(kao)潮(chao)。黑(hei)板(ban)上的(de)那(na)道题(ti)，依然像一(yi)个难以征(zheng)服的(de)山峰(feng)，但同学们(men)却不再畏惧，而是开始认(ren)真地(di)观察(cha)它(ta)的(de)每一(yi)处纹理，试图找(zhao)到攀登的路(lu)径(jing)。

“教授，我注(zhu)意到题目中(zhong)提(ti)到(dao)了(le)几个(ge)关键的量(liang)，它们(men)之间(jian)是否(fou)存在某种(zhong)不(bu)显而易见(jian)的关系(xi)？”一位善于从细节入手分析的(de)同学(xue)提出(chu)了疑(yi)问。

“没(mei)错，很(hen)多复(fu)杂的(de)数学(xue)问题，往往都(dou)隐藏在(zai)看似微(wei)不(bu)足道(dao)的(de)细节(jie)之(zhi)中。”老(lao)教授赞许地点了点头，“大家可(ke)以尝(chang)试将(jiang)这些(xie)量进(jin)行(xing)转换，或(huo)者(zhe)寻找它们之(zhi)间的(de)比例(li)、函(han)数(shu)关系。有时(shi)候，一个(ge)巧妙(miao)的(de)变量(liang)替换，就能(neng)让问题豁然开朗。”

小(xiao)雅此刻(ke)已经完全投(tou)入(ru)到(dao)思考(kao)之中(zhong)，她(ta)用粉笔(bi)在黑板(ban)上写下(xia)了一些(xie)她(ta)尝试(shi)过的公(gong)式和推(tui)导，虽然(ran)之前(qian)都(dou)走进(jin)了(le)死(si)胡同(tong)，但(dan)现(xian)在，她(ta)开始(shi)将这(zhe)些“死(si)胡同(tong)”视为一(yi)种信息(xi)，一种(zhong)排除(chu)的可(ke)能性(xing)。

“我之前尝(chang)试用(yong)三角(jiao)函数(shu)来(lai)解(jie)决(jue)，但(dan)似乎(hu)与题(ti)目中(zhong)的条(tiao)件不(bu)太匹(pi)配。但是，如果我们将(jiang)题目中的某个(ge)几何图形进行(xing)适(shi)当的旋(xuan)转(zhuan)或者变(bian)形(xing)，是(shi)否能(neng)让三(san)角函(han)数的(de)应用更(geng)加(jia)顺畅(chang)呢？”她一边(bian)写一(yi)边自(zi)言(yan)自(zi)语，时不时地(di)抬头看(kan)看黑板，眼(yan)中闪(shan)烁着(zhe)智慧(hui)的光(guang)芒。

“变(bian)形？这(zhe)倒是(shi)可(ke)以尝(chang)试！”同学(xue)们听(ting)到了(le)小(xiao)雅(ya)的思(si)路，也(ye)纷(fen)纷来了(le)灵感(gan)。

“对了(le)！我(wo)们(men)还可以考(kao)虑一(yi)下(xia)极限的(de)思想(xiang)。”另(ling)一(yi)个同(tong)学(xue)突然说(shuo)道，“如(ru)果我(wo)们(men)将(jiang)某个(ge)变量趋(qu)向(xiang)于(yu)无(wu)穷大或者(zhe)无穷(qiong)小，会(hui)不会(hui)得到(dao)一些(xie)特别的启发？就像(xiang)物理(li)学(xue)中的一(yi)些(xie)模型(xing)，有时(shi)候会简化(hua)到一种‘理想状(zhuang)态’来分析。”

“极限(xian)……这个方向(xiang)也很(hen)有趣！”老教授适(shi)时地(di)引(yin)导道，“数学的很(hen)多(duo)分支，都是在极(ji)限(xian)的(de)基础(chu)上发展起(qi)来(lai)的。想想(xiang)看，我(wo)们有(you)没(mei)有可(ke)能(neng)通过构造一个序列(lie)，或者(zhe)一个(ge)函数，来逼(bi)近我(wo)们想(xiang)要的结果(guo)？”

课堂的讨论，逐(zhu)渐变(bian)得(de)热(re)烈而(er)有序(xu)。不(bu)再是无(wu)头(tou)苍(cang)蝇般的(de)乱(luan)撞(zhuang)，而(er)是大家围(wei)绕(rao)着一(yi)个核心(xin)问题，从(cong)不(bu)同的角度，提出各种(zhong)各(ge)样的假设(she)和(he)猜想。有(you)的同学(xue)在尝试几(ji)何的(de)构(gou)造(zao)，有的(de)在探索(suo)代数的(de)转化(hua)，有的则在思考抽(chou)象(xiang)的数学概(gai)念。

“我(wo)感觉，这(zhe)道(dao)题可能需(xu)要用到一(yi)些我(wo)们还(hai)没学过的(de)知识，或者是(shi)一(yi)些非(fei)常规(gui)的技巧。”一(yi)个平时(shi)数(shu)学基础稍(shao)显(xian)薄弱的学生(sheng)，带(dai)着(zhe)一丝(si)沮丧(sang)说道。

“不，不(bu)一定(ding)。”老(lao)教授立(li)刻反(fan)驳(bo)道(dao)，“很多(duo)时候，‘难(nan)题’之所(suo)以(yi)难(nan)，不是因为(wei)我们(men)缺乏知识(shi)，而(er)是因(yin)为我们(men)没有学(xue)会如何(he)‘组合’已有(you)的(de)知(zhi)识，如(ru)何‘融会(hui)贯(guan)通’。这道题(ti)，可能(neng)只需要你将(jiang)初(chu)中、高中(zhong)所学的(de)不同知(zhi)识(shi)点，用(yong)一种(zhong)全(quan)新的方(fang)式(shi)连(lian)接(jie)起(qi)来。”

他(ta)顿了顿，继续(xu)说(shuo)道：“比(bi)如(ru)说(shuo)，你们(men)学过(guo)的勾(gou)股定(ding)理、相(xiang)似三角形(xing)，以及一些(xie)基本(ben)的函数(shu)性(xing)质，如(ru)果能(neng)够(gou)灵(ling)活运用，并(bing)且将其与题目(mu)中的某个(ge)特殊(shu)条件相结(jie)合，也(ye)许就(jiu)能找到意(yi)想不到的(de)突破口(kou)。这就像建造(zao)一座大厦(sha)，你(ni)需要不同的砖(zhuan)瓦(wa)、水泥，但(dan)更(geng)需要(yao)精巧(qiao)的设(she)计和(he)建(jian)造的(de)智慧。

”

小(xiao)雅此(ci)刻的(de)脸上，已(yi)经没有(you)了之前的(de)泪痕(hen)，取(qu)而(er)代之(zhi)的(de)是(shi)一种专注的神(shen)情。她时不时地在(zai)黑板(ban)上画(hua)上新的辅助(zhu)线(xian)，或(huo)者写(xie)下一(yi)个(ge)个尝试(shi)性的计算(suan)。她的(de)动作虽然(ran)没有之前那么(me)急切(qie)，但每一(yi)步(bu)都显得更加谨慎和(he)有目(mu)的性(xing)。

“我好像……有(you)点眉(mei)目了！”她突(tu)然激(ji)动地(di)喊道(dao)，“如果(guo)我们假(jia)设(she)……”

她的(de)话音(yin)刚落(luo)，全班(ban)同(tong)学都(dou)安(an)静了下来(lai)，期待地(di)看(kan)着(zhe)她。只见(jian)小(xiao)雅快速地在(zai)黑板(ban)上(shang)写(xie)下了(le)一(yi)系(xi)列步(bu)骤(zhou)，每一个(ge)符(fu)号，每一个公(gong)式，都(dou)充满了(le)力(li)量(liang)。她用(yong)清(qing)晰(xi)而流畅(chang)的(de)语言，向(xiang)大(da)家(jia)解释着她的思(si)路(lu)。

“我采用(yong)了(le)……的几何(he)变换，并通过引(yin)入(ru)……这(zhe)个辅(fu)助(zhu)线(xian)，将题目(mu)中(zhong)的复杂关(guan)系，转化(hua)为了一(yi)个……的(de)方程。然后(hou)，利用……的性质，我(wo)就可(ke)以(yi)一(yi)步步(bu)地推(tui)导(dao)出(chu)……”

随着她的讲解，黑板(ban)上的公(gong)式和(he)数(shu)字(zi)，逐渐勾(gou)勒(lei)出(chu)一条清(qing)晰的(de)解题路(lu)径(jing)。同学们(men)聚精会神地听(ting)着(zhe)，偶尔(er)有人发(fa)出(chu)惊叹，或者在自己(ji)的笔(bi)记本(ben)上(shang)快(kuai)速(su)记录。

“太(tai)棒了！小(xiao)雅(ya)，你的(de)思路太(tai)清晰(xi)了(le)！”

“原来是(shi)这(zhe)样！我(wo)之前(qian)怎么(me)没想(xiang)到这(zhe)个角(jiao)度呢(ne)？”

“这简(jian)直是神(shen)来之笔(bi)！”

当小雅最(zui)终(zhong)写下(xia)答(da)案(an)时，整个(ge)教(jiao)室(shi)响起(qi)了(le)雷(lei)鸣般(ban)的掌(zhang)声(sheng)。那道(dao)曾经让(rang)大家束手(shou)无策(ce)的“深(shen)不(bu)可测”的(de)难题，终(zhong)于(yu)被(bei)征(zheng)服了(le)。小雅脸(lian)上露出了(le)如释重(zhong)负的(de)笑(xiao)容，她看(kan)着同学们(men)，眼(yan)中(zhong)充满(man)了感(gan)激和(he)喜悦(yue)。

“谢谢(xie)大(da)家！如果(guo)不是你(ni)们(men)的提醒(xing)和(he)启(qi)发(fa)，我可能(neng)真(zhen)的会(hui)一直被(bei)困(kun)住(zhu)。”她真(zhen)诚(cheng)地说道(dao)。

老(lao)教授也露出了(le)欣慰(wei)的笑容(rong)：“看(kan)到了(le)吗？这(zhe)就是集(ji)体(ti)的智慧。一(yi)道难(nan)题(ti)，它可能(neng)是一个挑战，但(dan)它更是一个机(ji)会，一(yi)个让我们(men)互相学习(xi)、共(gong)同(tong)进(jin)步(bu)的机会。小(xiao)雅的(de)崩溃，提醒了我(wo)们，数学(xue)并(bing)非总(zong)是轻(qing)松愉快(kuai)的；而你们的(de)讨(tao)论(lun)和(he)启(qi)发，则证(zheng)明(ming)了，只要我(wo)们齐心协力，就(jiu)没有(you)克(ke)服不了(le)的困难。

”

他继续总结(jie)道：“今天，我(wo)们不仅仅(jin)是解(jie)决了一道数学(xue)题，我(wo)们还学会(hui)了如(ru)何面对(dui)挫(cuo)折，如何转(zhuan)换思(si)维，如(ru)何(he)运用(yong)集(ji)体的力量(liang)去解(jie)决问题。这(zhe)比任(ren)何一个固定的答案(an)，都更加宝(bao)贵。”

教室里(li)，同学(xue)们(men)望着黑(hei)板上(shang)清晰的解(jie)题步(bu)骤，感受着内心(xin)涌动的(de)成就感(gan)。他们知道(dao)，这次(ci)经历，将(jiang)成为他(ta)们学(xue)习生涯(ya)中一次(ci)难忘(wang)的财富。那道让课代(dai)表哭(ku)泣(qi)的难题(ti)，最(zui)终成(cheng)为了(le)他(ta)们共同突(tu)破的里程(cheng)碑。他们需(xu)要的，不仅(jin)仅(jin)是(shi)更多(duo)的(de)解法，更(geng)是面对难(nan)题时，那份(fen)不(bu)屈(qu)不挠(nao)的探索(suo)精(jing)神和(he)团(tuan)结(jie)协作的(de)力量(liang)。

数学(xue)的(de)魅力(li)，在这场“泪水(shui)与(yu)智慧”的碰(peng)撞中(zhong)，得到了(le)最(zui)生动(dong)的(de)诠释(shi)。

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图片来源：每经记者 陈荞 摄

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