每经编辑｜阿布·瑞恩烈士    

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一(yi)、当“数学(xue)课代(dai)表”也潸然泪下(xia)：难题的“太(tai)深”究(jiu)竟有(you)多深(shen)？

还记(ji)得那(na)个(ge)曾(ceng)经在讲台上(shang)自(zi)信(xin)飞(fei)扬，在习(xi)题(ti)册上游刃(ren)有余(yu)的“数(shu)学课代(dai)表(biao)”吗？你(ni)也(ye)许(xu)想(xiang)象(xiang)不到(dao)，即便是(shi)这(zhe)样(yang)被众人(ren)视(shi)为“数学(xue)尖(jian)子生(sheng)”的她，也(ye)曾因(yin)为一道道(dao)深邃的数(shu)学难(nan)题而(er)黯然(ran)神(shen)伤，甚至(zhi)在深(shen)夜里(li)，泪水(shui)悄然(ran)滑落(luo)。这“太深(shen)了”三个字(zi)，饱含(han)了多少(shao)个日夜(ye)的(de)挣扎(zha)与不(bu)解，又隐(yin)藏(cang)了多少(shao)不(bu)为人(ren)知的(de)辛(xin)酸。

我们(men)常说，数学(xue)是一(yi)门抽(chou)象的学(xue)科(ke)，它的(de)美在于逻(luo)辑的(de)严谨，它的(de)力量在(zai)于(yu)思(si)辨的(de)深度(du)。正是这(zhe)种(zhong)深度，常(chang)常让许多同学望而(er)却步。一(yi)道道复(fu)杂(za)的(de)题目，仿佛(fu)一个(ge)又(you)一(yi)个的(de)“拦路虎(hu)”，不仅(jin)仅(jin)是数字和(he)符号(hao)的堆砌，更是思(si)维的(de)迷宫(gong)。它们(men)常常(chang)跳(tiao)脱(tuo)出课(ke)本的(de)框(kuang)架(jia)，以一(yi)种(zhong)“出(chu)其不(bu)意”的方式考验(yan)着我们对(dui)知识的理(li)解和运用能力(li)。

“太深(shen)了”，是(shi)因(yin)为(wei)我(wo)们(men)对概念的(de)理(li)解(jie)不(bu)够(gou)透彻(che)。很多(duo)时候(hou)，我们(men)仅仅(jin)是记(ji)住(zhu)了(le)公式(shi)，记(ji)住(zhu)了定理，却未能(neng)真正(zheng)理(li)解其背(bei)后的(de)逻辑(ji)和推理过程(cheng)。当(dang)题目稍加(jia)变化(hua)，脱离了熟(shu)悉的模式，我们就如(ru)同(tong)无(wu)根之(zhi)萍，难(nan)以找到解(jie)题的(de)突(tu)破(po)口(kou)。例(li)如，在学(xue)习微(wei)积(ji)分时(shi)，仅(jin)仅(jin)记(ji)住(zhu)求(qiu)导法则(ze)和(he)积(ji)分公(gong)式是远远不够的(de)，更(geng)重要(yao)的是理解导数(shu)代表(biao)的“变(bian)化率(lv)”和积(ji)分代表的(de)“累积效应”，以(yi)及(ji)它们(men)在(zai)现(xian)实世(shi)界中(zhong)的(de)应用(yong)场景(jing)。

只有当这些概念真正(zheng)内化于(yu)心(xin)，才(cai)能在遇到(dao)复杂的应用(yong)题时，游刃有余。

“太深了”，是因(yin)为(wei)我们(men)的(de)思维方(fang)式未能跟上。数(shu)学的魅力在于(yu)其严谨(jin)的(de)逻辑(ji)推理和灵活的(de)思维转换。一道(dao)难题(ti)往往需要我们(men)跳(tiao)出(chu)固有(you)的思维定势，从(cong)多个(ge)角度(du)去审视问(wen)题，甚至(zhi)需要联(lian)想不同章(zhang)节的知识(shi)点(dian)。比(bi)如(ru)说，一道关于(yu)函数(shu)最值的问(wen)题，可能(neng)不(bu)仅仅(jin)涉及(ji)到函(han)数的(de)性质(zhi)，还可能需(xu)要运用(yong)到导(dao)数、不等式，甚(shen)至几(ji)何的知识。

如果(guo)我们(men)的(de)思(si)维是“线性(xing)”的，一(yi)旦遇(yu)到需要“跨(kua)界(jie)”思考的题目，就会(hui)感到力(li)不从心。

“太深了(le)”，是(shi)因为(wei)我们缺乏(fa)有效(xiao)的(de)学习方法(fa)。死(si)记(ji)硬背、题(ti)海战(zhan)术，这些(xie)看似勤奋(fen)的(de)方(fang)式(shi)，往(wang)往(wang)事倍(bei)功半(ban)。我们(men)可能(neng)会花费大量的(de)时间去做(zuo)大量的(de)题目，但(dan)效(xiao)果(guo)却(que)不尽如(ru)人意。这是因为，我们没有(you)找到(dao)“对症下药(yao)”的学(xue)习方法，没有(you)学会(hui)“举(ju)一(yi)反(fan)三(san)”。很(hen)多(duo)时(shi)候，一道难(nan)题的(de)出现(xian)，并非是知识点的“断(duan)层”，而是(shi)我们对知识(shi)点“连接(jie)”能(neng)力的欠(qian)缺(que)。

“太(tai)深(shen)了”，也(ye)是(shi)一(yi)种情绪(xu)的(de)表达(da)。当(dang)付(fu)出了(le)大(da)量的努力，却收(shou)效(xiao)甚微时，挫败感会像(xiang)潮水般(ban)涌来(lai)。看(kan)着同学们轻松(song)解(jie)决的(de)问(wen)题，自(zi)己却绞(jiao)尽脑汁(zhi)，这(zhe)种落差感会(hui)让人倍(bei)感压力(li)，甚至开始(shi)怀疑自己的(de)学(xue)习能(neng)力。正是这种“深”的无力(li)感，让“数(shu)学课代表”也忍(ren)不住(zhu)潸然(ran)泪下(xia)。

但是，请(qing)不(bu)要因(yin)此(ci)而(er)气(qi)馁。每一(yi)个“太深了(le)”的背(bei)后，都(dou)蕴藏着突(tu)破的契机(ji)。正如(ru)“数学课代表”最(zui)终能够(gou)走出(chu)迷(mi)茫，掌(zhang)握数学精(jing)髓一(yi)样，我(wo)们也(ye)可(ke)以通(tong)过科学(xue)的学习(xi)方法(fa)，将(jiang)那些看(kan)似“深不(bu)可(ke)测”的(de)难题，一(yi)一(yi)破解，最终(zhong)实现(xian)对(dui)数(shu)学(xue)知识(shi)的轻(qing)松(song)掌握。我(wo)们就(jiu)将深入探(tan)讨，如(ru)何才(cai)能真(zhen)正(zheng)“轻(qing)松掌握数(shu)学精髓”，让“太深了”变(bian)成“我能行(xing)”！

二、拨开迷雾，化繁为简：掌握数(shu)学精(jing)髓的“秘(mi)密(mi)武(wu)器”

曾(ceng)经(jing)的“数(shu)学课代表”之所(suo)以能够(gou)从(cong)“太(tai)深(shen)”的泥(ni)沼中脱颖(ying)而出(chu)，并非天生(sheng)就拥(yong)有(you)超凡(fan)的(de)数学天赋，而是她(ta)找到了真正适合自己的(de)学(xue)习方(fang)法，并持之(zhi)以(yi)恒地去(qu)实践。这些方(fang)法(fa)，如同(tong)“秘密武器”，能(neng)够(gou)帮(bang)助我们拨开(kai)重重迷(mi)雾，化繁(fan)为简，轻松掌握数学精(jing)髓。

1.概念为王，深(shen)度理解(jie)是(shi)根基(ji)

一(yi)切数(shu)学问(wen)题的解(jie)决(jue)，都离不开(kai)对基(ji)础概念的深刻(ke)理解。与其花费大(da)量(liang)时(shi)间(jian)去做(zuo)那些(xie)“换汤不换(huan)药”的难(nan)题，不如(ru)回到最(zui)基础(chu)的(de)概(gai)念上，反(fan)复揣摩。

刨(pao)根问底，追(zhui)溯(su)源(yuan)头：对于(yu)每一个(ge)公(gong)式、定理(li)，不要仅仅停留(liu)在“是(shi)什(shen)么(me)”，更要(yao)探究(jiu)“为什么”。它(ta)的提出背景是(shi)什么？它(ta)是(shi)如(ru)何(he)推导出(chu)来的(de)？它(ta)在哪(na)些场景下(xia)适用(yong)？主动(dong)去(qu)查(cha)阅资料，与(yu)老师(shi)同学讨论，甚(shen)至(zhi)自己动(dong)手去(qu)证(zheng)明(ming)。例(li)如，在(zai)学习(xi)勾股(gu)定理(li)时，可(ke)以(yi)通过“面(mian)积法(fa)”来直(zhi)观理(li)解，用(yong)多个不同(tong)边长(zhang)的直角(jiao)三角(jiao)形(xing)，拼(pin)凑(cou)成大(da)正方(fang)形，从而(er)发现$(a^2+b^2)$的(de)面积等于$c^2$的面(mian)积。

联系实际，赋(fu)予(yu)生(sheng)命(ming)：将抽象(xiang)的数学概念与(yu)生活(huo)实际联系(xi)起来(lai)。例如(ru)，学习(xi)百分数时，可以(yi)关注(zhu)超市(shi)的打(da)折信息；学习概(gai)率时(shi)，可以分(fen)析(xi)彩票的中(zhong)奖(jiang)概(gai)率(lv)。这(zhe)种(zhong)联系(xi)能(neng)够(gou)帮助我们更(geng)好地(di)理(li)解概念(nian)的内(nei)涵，使(shi)其(qi)不再(zai)是(shi)冰冷的(de)符(fu)号，而(er)是鲜(xian)活的工具。构建知识(shi)网络：将(jiang)看似孤(gu)立(li)的知识(shi)点串(chuan)联起来，形(xing)成一个完(wan)整的知识(shi)体系。

例(li)如(ru)，学习(xi)函(han)数(shu)时(shi)，要(yao)明白(bai)它与方程(cheng)、不等(deng)式、数(shu)列等(deng)知识(shi)点之(zhi)间(jian)的(de)联系(xi)。画出(chu)思维(wei)导图(tu)，梳理(li)知识(shi)脉络(luo)，能够帮助我(wo)们(men)从宏观(guan)上把握(wo)数学体系，在(zai)解(jie)题时能够调用更(geng)全(quan)面的(de)知识(shi)储备(bei)。

2.思维训练，解锁数学(xue)“隐藏(cang)关卡”

数学(xue)的精髓在于思维，而(er)思维是可(ke)以训练的。掌握(wo)一些(xie)高效(xiao)的思维训练方(fang)法，能够帮(bang)助(zhu)我们更(geng)好地(di)应对难题。

化归(gui)思想：这是解决(jue)数学问题(ti)最(zui)核心的思维方式(shi)之一。将(jiang)复(fu)杂的(de)问(wen)题转化为简(jian)单的(de)问(wen)题(ti)，将未知(zhi)转化为(wei)已知。在遇到难(nan)题(ti)时(shi)，尝试将其(qi)拆解(jie)成若干(gan)个小问(wen)题，或者将其转(zhuan)化为(wei)一个自己(ji)熟悉(xi)的(de)题(ti)型。例如，一(yi)个(ge)复杂的(de)代(dai)数方程(cheng)，可以尝试(shi)通过(guo)因式(shi)分解、换元(yuan)等方(fang)法，将其(qi)转(zhuan)化为一个更(geng)简单的(de)二次方程(cheng)。

数(shu)形(xing)结合：很多(duo)几(ji)何(he)问题(ti)可以转化(hua)为代数问(wen)题，反之亦然(ran)。利用(yong)图(tu)形的直观性来(lai)辅助(zhu)代(dai)数(shu)运算(suan)，或(huo)者利用代数(shu)的精确性来描(miao)述(shu)图形的性质(zhi)。例如，在(zai)求(qiu)解不(bu)等(deng)式时，可以(yi)通(tong)过绘制函数图(tu)像(xiang)来(lai)直观(guan)地看(kan)出(chu)不等(deng)式的解集。分(fen)类讨论(lun)：当(dang)问题(ti)中(zhong)存在不(bu)确定因(yin)素(su)，或者(zhe)可(ke)以用不同的(de)方(fang)式来(lai)定(ding)义某些变量(liang)时，就需(xu)要用到分(fen)类(lei)讨(tao)论的(de)思维(wei)。

确保(bao)每一个(ge)类(lei)别都(dou)被充分考虑到，并(bing)且分(fen)类(lei)的标(biao)准要(yao)清晰(xi)明(ming)确(que)，避(bi)免(mian)重(zhong)叠(die)或遗漏。逆(ni)向思(si)维：有(you)时候(hou)，从问(wen)题的(de)反面(mian)去思(si)考，能(neng)够带(dai)来(lai)意想不到的(de)突破(po)。例如(ru)，在证(zheng)明(ming)某个命(ming)题时(shi)，可以尝试证(zheng)明它的(de)逆(ni)否(fou)命题(ti)。

3.方(fang)法优(you)化(hua)，告别“低(di)效(xiao)勤(qin)奋(fen)”

“题海战术”并(bing)非(fei)万能，关键在于“精”与“巧”。

精(jing)选题(ti)目，重在理(li)解(jie)：不(bu)是题(ti)目做(zuo)得越(yue)多越好，而是要(yao)选择(ze)那些(xie)能够(gou)触及知识(shi)点核心(xin)，能够暴(bao)露思(si)维盲(mang)区(qu)的(de)题目(mu)。做完一(yi)道题，不(bu)是(shi)仅(jin)仅对(dui)对答案就(jiu)放下(xia)，而是(shi)要深入分析：为(wei)什么(me)会做(zuo)错？错(cuo)在哪里？这道题(ti)考察了哪些知(zhi)识(shi)点？还有(you)哪些(xie)类(lei)似的(de)解法？错(cuo)题本的“复活(huo)术(shu)”：错题本(ben)是提升(sheng)成绩(ji)的(de)宝(bao)藏，但前提(ti)是要(yao)用对(dui)方法。

不(bu)要(yao)仅仅是抄(chao)题(ti)，而(er)是要(yao)写下错(cuo)误(wu)原因、正确(que)思(si)路、以及(ji)相关(guan)的知识点。定(ding)期(qi)回顾错题(ti)，并尝试重(zhong)新(xin)做(zuo)一遍(bian)，确(que)保(bao)真正(zheng)掌(zhang)握。学习(xi)“高手(shou)”的思路(lu)：阅(yue)读(du)优(you)秀学(xue)生的(de)解(jie)题(ti)思路，或(huo)者(zhe)向(xiang)老(lao)师请教(jiao)，学习他(ta)们解(jie)决(jue)问(wen)题的(de)方(fang)式。观察(cha)他们(men)是(shi)如何分析问(wen)题，如(ru)何组(zu)织语(yu)言，如何(he)进(jin)行逻(luo)辑推(tui)理的。

寻求(qiu)“支点”，寻求“杠(gang)杆(gan)”：找(zhao)到(dao)数学学(xue)习中的“支点”，也(ye)就(jiu)是那(na)些(xie)最关键(jian)的知(zhi)识点或思(si)维方式(shi)，然(ran)后(hou)用(yong)“杠杆”去(qu)撬动(dong)整(zheng)个学(xue)科。例如，对于代(dai)数(shu)而言(yan)，方程和函数(shu)是两个重(zhong)要(yao)的“支点(dian)”，掌握了它(ta)们，就(jiu)如同(tong)拥有了解(jie)决许多问题(ti)的“钥(yao)匙(shi)”。

4.调整(zheng)心态(tai)，拥抱挑(tiao)战

学习(xi)数学，尤(you)其是在(zai)面对难(nan)题(ti)时，心(xin)态至(zhi)关(guan)重(zhong)要。

建(jian)立自(zi)信，从(cong)“小胜”开始(shi)：不要(yao)一开(kai)始就挑战(zhan)高(gao)难(nan)度，可(ke)以(yi)从(cong)一些(xie)例题、课(ke)后习题(ti)开始，逐步(bu)建立(li)信心(xin)。每一次的(de)成(cheng)功，都(dou)是(shi)在为(wei)下一(yi)次的(de)挑(tiao)战(zhan)积蓄力(li)量(liang)。允许(xu)犯错，视难为友：认识到(dao)犯错是(shi)学习过程中不(bu)可避免的(de)一部(bu)分(fen)。不要(yao)因(yin)为一(yi)时的(de)失(shi)败而否(fou)定自己。将(jiang)难题(ti)视为(wei)一(yi)个(ge)成(cheng)长(zhang)的机(ji)会(hui)，一(yi)个让(rang)你更上(shang)一层(ceng)楼(lou)的“垫(dian)脚(jiao)石”。

保持(chi)好奇，享受过程(cheng)：试着(zhe)去(qu)发(fa)现(xian)数学的(de)趣味性和(he)逻辑美。当(dang)你带(dai)着好(hao)奇心(xin)去探(tan)索时，学习的过程本身就会变(bian)得(de)更有(you)意义，那些所(suo)谓(wei)的“深”也就不再那(na)么令(ling)人畏(wei)惧(ju)。

“数学课(ke)代(dai)表哭着(zhe)说太(tai)深了(le)”，这不仅仅(jin)是一(yi)种情(qing)绪的(de)宣泄，更是(shi)一种(zhong)成长(zhang)的(de)信号。当(dang)我们(men)能够坦然面对(dui)这(zhe)份“深”，并(bing)找(zhao)到科(ke)学的(de)学(xue)习方法，积极的(de)心态(tai)去(qu)拥(yong)抱它(ta)时，那(na)些曾(ceng)经让我们望(wang)而却步(bu)的难(nan)题(ti)，终(zhong)将化(hua)为我(wo)们通(tong)往(wang)数(shu)学精髓的(de)阶(jie)梯(ti)。从此(ci)刻(ke)起(qi)，让我(wo)们一起，将“太深(shen)了”变成(cheng)“我能行(xing)”，轻松(song)掌(zhang)握数学(xue)的奥秘！

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图片来源：每经记者 陈继鹏 摄

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