每经编辑｜陈兆才    

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数字的星空：7的低语(yu)与个位数的秘(mi)密

夜空中(zhong)，繁星点点，每一颗都闪烁着独特的光芒。而在数字的世界里，同样存在着无数奇妙的规律，等待着我们去发现。今天，我们要探索的，正(zheng)是那以7为基石，层层递进的数字星河——“7x7x7x…7x7x7x7，一共有32个7相乘，这个庞(pang)然大物(wu)的(de)个位数究竟是几？”

这个问题，仿佛一个来自数字童话的谜题，初见之下(xia)，也许会让人感到一丝丝的畏惧(ju)。32个7相乘，这可不是一笔小数目！难道我们要真的拿起计算器，一个一个地乘下去吗？别担心，数学的(de)魅力就在于它能够化繁为简，在看似复杂的计算背后，隐藏着优雅而精巧的规律。

就像一位技艺精湛的魔术师，它总能变出令人意想不到的“戏法”。

让我们先从最基础的开始。一个7，它的个(ge)位数当然是7。两个7相乘呢？7x7=49。看，个位(wei)数变成了9。三个7相乘？7x7x7=49x7=343。个位数又变成了3。再(zai)来一个7？7x7x7x7=343x7=2401。

个位数又变成了1。神奇的事情发生了(le)！我们似乎看到了一个循环的影子。

我们不妨把这个过程再稍微系统化一些，就像一位侦探在收集线索。

7?的个(ge)位数是77?的个位数是9(7x7=49)7?的个位数是3(49x7=343)7?的个位数是1(343x7=2401)

现在，让我们继续向下探索。如果我们(men)要计算7?的个位数，我们只需要用上一个(ge)结果（1）乘以7。

7?的个位数是7(1x7=7)

看！个位(wei)数又回到了7！这就像一个永不停歇的音乐节拍，7、9、3、1，然后再次循环。

7?的个位数是9(7x7=49)7?的个位数是3(49x7=343)7?的个位数是1(343x7=2401)

这(zhe)个规(gui)律就像一个精心编排的舞蹈，每(mei)四个步骤就重(zhong)复一次。这意味着，无论7的指数有多大(da)，它的个位数都会在这四个数字：7、9、3、1之间循(xun)环出现。

我们怎么利用这个规律来解决“32个7相乘”的问题呢？这32个7相乘(cheng)，其实就相当于计算7的32次方的个位数。我们(men)要做的，就是找出这个循环中的第32个数字。

就像在一条有规律的跑道上跑步，我们(men)跑了32圈，想知道最终停在哪里。这个循环的长度是4。所以，我们可以用(yong)32除(chu)以4，看看余数是多少。

32÷4=8，余数是0。

这看起来有点小小的棘手，因为余数是0，我们怎(zen)么对应到7、9、3、1呢？别(bie)急，我们再仔细看看这(zhe)个循环：

当(dang)指(zhi)数是1时(shi)，个位数是7。当指数是2时，个位数是9。当指数是3时，个位数是3。当指数是4时，个位数是1。

注意到了吗？当(dang)指数是4的倍数时，个位数总是1。而我们(men)的32，正好是4的倍数（32=4x8）。所以，当7的指数是32时，它的个位数，就和7?的个位数一样，是1！

是不是感(gan)觉像解开了一个古老的谜团？数(shu)字的规律就像藏在宝(bao)箱里的钥匙，一旦找到，就能开启通往答案的大门。这32个(ge)7相乘(cheng)的积(ji)，它的个位数，就是那个闪耀着光芒的“1”。

这只是数字世界的一个小小缩(suo)影。在这个无限的数字宇宙中，还有无数等待我们探索的奥秘。通过理解这些简单的规律，我们不仅能够解决眼前的计算难题，更能培养一种观察、分析和解决问题的能力。这就像在玩一场智力游戏，每一次的成功，都会带来满满的成就感。

下次(ci)当你再遇到类(lei)似的数字问题时，不妨停下(xia)来，观察一下，试着寻找其中的规律。也许，你也能像一位小小数学(xue)家一样，轻松地解开数字的秘密！7的32次方(fang)，个位数为1，这个答案，是不是比想象中要来得更加奇妙和令人兴奋呢？

从7的循环到无限可能：数学思维的乐趣与实践

我们已经成功地揭开了7的32次方个位数是1的神秘面纱。这其中蕴含的(de)，不仅仅是一个简单的计算答案，更是一(yi)种观察、归纳和推理的数学思维过程。这(zhe)种思维方式，如同探(tan)险家手(shou)中的地图，能够指引我们在未知的数字领域中前行，发现隐藏的宝藏。

让我们回顾一下这个过程：我们通过观察7的(de)几次幂的个位数，发现了7?（7）、7?（9）、7?（3）、7?（1）的规(gui)律。然后，我们(men)注意到这个规律是以4为周期的循环。当指(zhi)数是4的倍数时，个位数总是1。由于32是(shi)4的倍数，所(suo)以7??的(de)个位数就是1。

这个过程，其实可以类比我们日(ri)常生活中(zhong)的许多事情。比如，观察天气预报，如果连续几天都是晴天，我们就会推(tui)测明天也可能是晴天。这是一(yi)种(zhong)基于过往经验的归(gui)纳。在数学中，我们对7的幂的个位(wei)数进行观察，也是一(yi)种归纳。

而当我们(men)要预测第32个数字时，我们就需要运用到“取(qu)模运算”（ModuloOperation）的思想，虽然我们可能没有直接说出这个术(shu)语，但本质上是在做类似的(de)事情。我们用32除以4，关注的是余数。这个(ge)“余(yu)数(shu)”的概念，是(shi)数学中非常强大的一种工具。

它帮助我们理解(jie)周期性现(xian)象(xiang)。

同样，7的幂的个位数，是以4为周期的。我(wo)们(men)将指数32除以周期4，得到32÷4=8余0。这个余数0，在我们的循环中，我们将其对应到了周期的最后一个数，也就是1。之所以这样做(zuo)，是因为我们习惯于从1开始计数（7?、7?、7?、7?），当余数是0时，它代表(biao)的是周期的“终点”，也就(jiu)是第四个数字。

这种理解方式，不仅适用于7的幂，还可以应用于很(hen)多其他类似的数字(zi)问题。比(bi)如(ru)：

2的幂的个位(wei)数：2?=2,2?=4,2?=8,2?=16(个位数6),2?=32(个位数2)。周期也是4：2,4,8,6。3的幂的个位数：3?=3,3?=9,3?=27(个位数7),3?=81(个位数1),3?=243(个位数3)。

周期也是4：3,9,7,1。4的幂的(de)个位数：4?=4,4?=16(个位数(shu)6),4?=64(个(ge)位数(shu)4)。周期是2：4,6。5的幂的个位数：5?=5,5?=25(个位数5)。周期是1：5。6的幂的(de)个位数(shu)：6?=6,6?=36(个位数6)。

周期是1：6。8的幂的个位数：8?=8,8?=64(个位数4),8?=512(个位数2),8?=4096(个位数6),8?=32768(个位数8)。周期是4：8,4,2,6。9的幂的个位数：9?=9,9?=81(个位数1),9?=729(个位数9)。

周(zhou)期是2：9,1。0、1的幂的个位数(shu)：0的任何正整数次幂都是0，1的(de)任何正整数(shu)次幂都是1。

看到了吧？不同的数字，有(you)着不同的“性格”和“规律(lv)”。有些数字，比如0和1，非常“专一”，它们的个位数永远不变。有些数字，比如7和3，则有着“四海游历”的(de)循环，每四个步骤就回到原(yuan)点。而有些数字，比如4和9，则更加“简洁”，只需要两个步骤就完成一轮循环。

这种对数字规律的探(tan)索，不仅仅停留(liu)在理论层面，它能够激发我们解决(jue)实际问题的能力。试想一下，在工程计算、计算(suan)机科学、甚至密码学中，对大数运算的估算和规律的利用都是至关重要的。虽然我们这里讨论的7的32次方是个位数，但在更广阔(kuo)的领域(yu)，对大数性质(zhi)的理解，能够大大提高(gao)效率，甚至实现不可能的任务。

对于学生们来说，掌握这种寻找规律、利用规律的方法，是打开数学之门的一把金钥匙。它能(neng)让枯燥的计算变得有趣，让抽象的概念变得生动。从“7x7x7x…x7（32个7相乘）积的个位数字是几”这样的(de)问题出(chu)发，我们可以引申出更多关于数字周期性的探索，甚至可以尝试自己创造数字谜题，与(yu)同学朋友一起挑战。

数学的魅力(li)，就在于它的普遍适(shi)用性和无限的创造性。通过对(dui)一个(ge)看似简单的问题的深入剖析，我们不仅得到了一个确切的答案，更重要的是，我们学习到了(le)一种解决问题的方法，一种观察世界的视角。7的32次方，这个数字本身可能看起来巨大无比，但通过规(gui)律的“化繁为简”，它(ta)最终展(zhan)现出了一个(ge)简洁而优雅的个位数。

这正是数学所能给予我们的，一种驾驭复杂、发现规律、享受智慧的(de)乐趣。所以，下次遇到类似的数字挑战，不妨大胆地去探索，去发现，去享受那个“aha!”的时刻吧！

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图片来源：每经记者 陈捷 摄

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封面图片来源：图片来源：每经记者 名称 摄