每经编辑｜钟吾    

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数字的星空：7的低语与个(ge)位数的秘密(mi)

夜空中，繁星点点，每一颗都闪烁着独特的光(guang)芒。而在数字的世界里，同样存在着无数奇妙的规律，等(deng)待着我们去发现。今天，我们要探索的，正是那以7为基石，层层递进的数字星河——“7x7x7x…7x7x7x7，一共有32个7相乘，这个庞然大物的个位数究竟是几？”

这个问题，仿佛一个来自数字童话(hua)的谜题，初见之下，也许会让人感到一丝丝的畏惧(ju)。32个7相乘，这可不是一笔小数目！难道我们要(yao)真的(de)拿起计算器，一个一个地乘下去吗？别担心，数学的魅力就在于(yu)它能够化繁为简，在看似复杂(za)的计(ji)算背后，隐藏着优雅而精巧的规律。

就像一位技艺(yi)精湛的魔术(shu)师，它总能变出令人意想不到的“戏法”。

让我们(men)先从最基(ji)础的开始。一个7，它的个位数当然是7。两个7相乘呢？7x7=49。看，个位数(shu)变成了(le)9。三个7相乘(cheng)？7x7x7=49x7=343。个位数又变成了3。再来一个7？7x7x7x7=343x7=2401。

个位数(shu)又变(bian)成了1。神奇的事情发生了！我们似乎看到(dao)了一个循环(huan)的影子。

我(wo)们不妨把这个过程再稍微系统化一些，就像一位侦探在收集线索。

7?的个位数是77?的个位数(shu)是9(7x7=49)7?的(de)个位(wei)数是3(49x7=343)7?的个位数是1(343x7=2401)

现在(zai)，让我们继续(xu)向下探索(suo)。如(ru)果我们要计算7?的个位数，我们只需要用上一个结果（1）乘(cheng)以7。

7?的个位数是7(1x7=7)

看！个位数又回到了7！这就像一个永不停歇的音乐节拍，7、9、3、1，然后再次循环。

7?的个位数是9(7x7=49)7?的个位(wei)数是3(49x7=343)7?的(de)个位数是1(343x7=2401)

这个规律就像一个精心编排的舞蹈，每四个步骤就重复一次。这意味着，无论7的指数有多大，它的个位数都会在这四个数字：7、9、3、1之间循环出现(xian)。

我们怎么利用这个规律来解决“32个7相乘”的问题呢？这32个7相乘，其实就(jiu)相当于计算7的32次(ci)方的个位数。我们要做的，就是找出这个循环中的第32个数字。

就像(xiang)在一条(tiao)有规律的跑道(dao)上跑步，我们跑了32圈，想知道最(zui)终停在哪里。这个循环的长度是4。所以，我们可以用32除以4，看看余数是多少。

32÷4=8，余数是0。

这看起来有点小小的棘手，因为(wei)余(yu)数是0，我们(men)怎么对应到7、9、3、1呢？别急，我们再仔细看看这个循环：

当指数是1时(shi)，个位数(shu)是7。当指数是2时，个位数是9。当指数是3时，个(ge)位数是3。当指数是4时，个(ge)位数是(shi)1。

注意到了吗？当指数是4的倍数时，个位数总(zong)是1。而我们的32，正好是4的倍数（32=4x8）。所以，当7的指数是32时，它(ta)的个位数，就和7?的个位数一样，是1！

是不是感觉(jue)像解开了一个(ge)古老的谜团？数字的规律就像藏在宝箱里(li)的钥匙，一旦找到，就能开启通往(wang)答案的大门。这32个7相乘的积，它的个位数，就是那个闪耀着光芒的“1”。

这只是数字世界的一(yi)个小小缩影。在这个无限的数字宇宙中，还有无数等待我们探索的奥秘。通过理解这些简单的规律，我们不仅(jin)能够解决眼前的计算难题，更能培养一种观察、分析和解决问题的能力。这就像在玩一场(chang)智力游戏，每一次的成功，都会带来满满的成就感。

下次当你再遇到类似的数字问题时，不妨停(ting)下来，观察一下，试着寻(xun)找其中的规律。也许，你也能像一位小小数学家一样，轻松地解开数字的秘密！7的32次方，个位数为1，这个答案，是不是比想象中要来得更加(jia)奇妙和(he)令人兴奋呢？

从7的循环到无限可能(neng)：数学思维的乐趣与实践

我们已经成功地揭开了(le)7的32次方个位数是1的神秘面(mian)纱(sha)。这其中蕴含(han)的，不仅仅是一个简单的计算答案(an)，更是一种观察、归(gui)纳和推理的数学思维过程。这种思维方式，如同探险家手中的地图，能够指引我们在未知的数字领域中前行，发现隐藏的宝藏。

让我们回顾一下这个过程(cheng)：我们通过观察7的几次幂的个(ge)位数，发现了7?（7）、7?（9）、7?（3）、7?（1）的规律。然后，我(wo)们注意到这个规律是以4为周期的循环。当指数是4的倍数时，个位数总是1。由于32是(shi)4的倍数(shu)，所以7??的个位数就(jiu)是1。

这个过程，其实可(ke)以类比(bi)我们日常生活中的许多事情。比如，观察天气预报，如果(guo)连续几天(tian)都是晴天，我们就会推测明天也可能是晴天。这是一种基于过往经验的归纳。在数学中，我们对7的幂的个位数进行(xing)观察，也是一种归纳。

而当我们要预测第32个数字时，我们就需要运(yun)用到“取模运算”（ModuloOperation）的思想，虽然我们可能没有直接说出这个术语，但本质上是在做类似的事情。我们用32除以4，关注的是余数。这个“余数”的概念，是数学中非常强大的一种工具。

它帮助我们理解周期性现象。

同样，7的幂的个位数，是以4为周期的。我们将指数32除以周期4，得到32÷4=8余0。这个余数0，在我们的循环中，我们将其对应到了周期的最后一个数，也就是1。之所以这样做，是(shi)因为我们习惯于从1开始计数（7?、7?、7?、7?），当余数是0时，它代表的是周期的“终点”，也就是第四个数字。

这种理解方式，不仅(jin)适(shi)用于7的幂，还可以应用于很多其他类似的(de)数字问题。比如：

2的幂的个位数：2?=2,2?=4,2?=8,2?=16(个位数6),2?=32(个位数2)。周期也是4：2,4,8,6。3的幂的个位数：3?=3,3?=9,3?=27(个位数7),3?=81(个位数1),3?=243(个位数(shu)3)。

周期也是4：3,9,7,1。4的幂的个位数：4?=4,4?=16(个(ge)位数6),4?=64(个位数4)。周期是2：4,6。5的幂的个位数：5?=5,5?=25(个位数5)。周期是1：5。6的幂的个位数：6?=6,6?=36(个位数(shu)6)。

周期是1：6。8的幂的个位数：8?=8,8?=64(个位数4),8?=512(个位数2),8?=4096(个位数6),8?=32768(个位数8)。周期是4：8,4,2,6。9的幂的个位数：9?=9,9?=81(个位数1),9?=729(个位数9)。

周期是2：9,1。0、1的(de)幂的个位数：0的任何正整数次幂都是0，1的任何正整数次幂都是1。

看到了吧？不同的数字，有着不同的“性格”和“规律”。有些数(shu)字，比如0和1，非常“专一”，它们的个位数永远不变。有些数字，比如7和(he)3，则有着“四海游历”的循环，每四个步骤就回到原点。而有些数字，比如4和9，则更加“简洁”，只需要两个步骤就完成一轮循环。

这种对数字规律的探(tan)索，不仅仅停留在理论层面，它能够激发我们解决实际问(wen)题的能力。试想一下，在工程计算、计算机科(ke)学、甚至密码学中，对大数运(yun)算的估算和规律的利用都是至关(guan)重要的。虽然我们这里讨论的7的32次方是个位数，但在更广阔的领域，对大(da)数性质的理解，能够大大(da)提(ti)高效率，甚至实现不可能的任务。

对于学生们来(lai)说，掌握这种寻找规律、利(li)用规律(lv)的方法，是打开数学之门的一把金钥匙。它能让枯燥的计算(suan)变得有趣，让抽象的概念变得(de)生动。从“7x7x7x…x7（32个7相乘）积的个位数字是几”这样的(de)问题出发，我们可以引申出(chu)更多关于(yu)数字周期性的探索，甚至可以尝试自己创造数字谜题，与同学朋友一(yi)起挑战。

数学的魅力，就在于它的普遍(bian)适用性和无限的创造性。通过对一个看似简单的问题的深入(ru)剖析，我们不仅得到了一个确切的答案，更重要的是，我们学习到了一种解决问题的方法，一种观察世(shi)界的(de)视角。7的32次方，这(zhe)个数字本身可能看起来巨(ju)大无比，但通过规律的“化繁为简”，它最终展现出了一个简洁而优雅的个位数。

这正是数学所能给(gei)予我们的，一种驾驭复(fu)杂(za)、发现规律、享受智慧的(de)乐趣。所以(yi)，下次遇到类似的数字挑战(zhan)，不(bu)妨大胆地去探索，去发现，去享受那(na)个“aha!”的时刻吧！

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图片来源：每经记者 阿卜杜拉赫曼 摄

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