每经编辑｜陈兴道    

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数字的星(xing)空：7的低语与个(ge)位数的秘密

夜空中，繁星点点，每一颗都闪烁着独特的光芒。而在数字的世界里，同样存在着无数奇妙的规律，等待着我们去发现。今天，我们要探(tan)索的，正是那以7为基石，层层递进的数字星河——“7x7x7x…7x7x7x7，一共有32个7相乘，这个庞然大物的个位数究竟是几？”

这个问题，仿佛(fu)一个来自数字童话的谜题，初见之下，也(ye)许会让人感到一丝丝的畏惧。32个7相(xiang)乘，这可不是一笔小数目！难道我们要真的拿起计算器，一个一个地乘下去吗？别担心，数学的魅力就在于它能够化繁为简，在看似复杂的计算背后(hou)，隐(yin)藏着优雅而精巧的规律。

就像一(yi)位技艺精湛的魔术(shu)师，它总能变出令人意想不到的“戏法”。

让我们先从最基础的开始。一个7，它的个位数当然是7。两个7相乘呢？7x7=49。看，个位数变成了9。三个7相(xiang)乘？7x7x7=49x7=343。个位数又变成(cheng)了3。再来一个7？7x7x7x7=343x7=2401。

个位数(shu)又变成了1。神奇的事情发生了(le)！我们似乎看到了一个循环的影子。

我们不妨把这个过程再稍微系统化一些，就像一位侦探在收集线索(suo)。

7?的个(ge)位数是77?的个位数是9(7x7=49)7?的个位数是3(49x7=343)7?的个位数是(shi)1(343x7=2401)

现在，让我们继续向下探索。如果我们要计算7?的个位数，我们只需要用上一个结果（1）乘以7。

7?的个(ge)位数是7(1x7=7)

看！个位数又回到了7！这就像一个永不停歇的音乐节拍，7、9、3、1，然后再次循环。

7?的个位数是9(7x7=49)7?的个位数是3(49x7=343)7?的个位数是1(343x7=2401)

这个规律就像(xiang)一个精心(xin)编排的舞蹈，每四个步骤就重复(fu)一次。这意味着，无论7的指数有多大，它的个位数都会在这四个(ge)数(shu)字：7、9、3、1之间循环出现。

我(wo)们怎么利用(yong)这个规律来解决“32个7相乘”的问题呢？这32个7相乘，其实就(jiu)相当于计算7的32次方的个位数。我们要做的，就是找出这个循环中的第32个数字。

就像(xiang)在一条有规律的跑道上跑步，我们跑了32圈，想知道最终停在哪里。这个循环(huan)的长度是4。所以，我们可以用32除以(yi)4，看看余数是多少。

32÷4=8，余数是0。

这看起来有(you)点小小的棘手，因为余数是0，我们怎么(me)对应到7、9、3、1呢？别急，我们(men)再仔细看看这个循环：

当(dang)指数是1时(shi)，个位数是7。当指数是2时，个位数是9。当指数是3时，个位数是3。当指数是4时，个位数是1。

注意到了(le)吗？当指数是(shi)4的倍数时，个位数总是1。而(er)我们的32，正好是4的倍数(shu)（32=4x8）。所以，当7的指数是32时，它的个位数，就和7?的个位数一样，是1！

是不是感觉像解开了一个古老的谜团？数字的规(gui)律就像藏在宝箱里的钥匙，一旦找到，就能开启通往答案的大门。这32个7相乘的积，它的个位数(shu)，就是那个闪耀着光芒的“1”。

这只是数字世界的一个小小缩影(ying)。在这个无限的数字宇宙中，还有无数等待我们探索的奥秘。通过理解这些简单的规律，我们(men)不仅能够解决眼(yan)前的计算难题，更能培(pei)养一种观察、分析和解决问题的能力。这就像在玩一场智力游戏，每一次的成功，都会带来满满的成就感。

下次当你再(zai)遇到(dao)类似的数(shu)字问题时，不妨停下来，观察一下，试着(zhe)寻找其中的规律。也许，你(ni)也能像一位小小数学家一样，轻松地解开数字的秘密！7的32次方，个位数为1，这个答案，是不是比想(xiang)象中要(yao)来得更加奇妙和令人兴奋呢？

从7的循环到无限(xian)可能：数学思维的乐趣与实践

我们已经成功地揭开了(le)7的32次方个位数是1的神秘面(mian)纱。这其中蕴含的，不(bu)仅仅是一个简单的计(ji)算答案，更是一种观察、归纳和推理的数学思维过(guo)程。这种思维方式，如同探险家手中的地图，能够指引我们在未知的数字领域中(zhong)前行，发现隐藏的宝藏。

让我们回顾一下这个过程：我们通过观察7的几次幂的个位数，发现了7?（7）、7?（9）、7?（3）、7?（1）的规律。然后，我们注意到这个规律是以4为周期的循环。当指数是4的倍数时，个位数总是1。由于32是4的倍数，所以7??的(de)个位数就是1。

这个过程，其实可(ke)以类比我们日常生活中的许多事情。比如，观察天气预报，如果连续几天都是晴天，我(wo)们(men)就会推测(ce)明天也可能是晴天。这(zhe)是一(yi)种基于过往(wang)经验的归(gui)纳。在数学中，我们(men)对7的幂的个位数进行观察，也是一种归纳。

而当我们要预测第32个数字时，我们就需要(yao)运用到“取模运算”（ModuloOperation）的思想(xiang)，虽然我们可能没有直接说出这个术语，但本质上是在做类(lei)似(shi)的事情。我们用32除以4，关注的是余数。这个“余数”的概念，是数学中非常强大的一种工具。

它帮助我们理解周期性现象(xiang)。

同样，7的幂的个位数，是以4为周期的。我们将指数32除以(yi)周期4，得(de)到32÷4=8余0。这个余数0，在我们的循环中，我们将其对应到了周期的最后(hou)一个数，也就是1。之所(suo)以这样做，是因为我们习(xi)惯于从1开始计数（7?、7?、7?、7?），当余数是0时，它代表的是(shi)周期的“终点”，也就是第(di)四(si)个数字。

这种理解方式，不仅适用于7的幂，还可(ke)以应用于很多其他类似的数字问题。比如(ru)：

2的幂的个(ge)位数：2?=2,2?=4,2?=8,2?=16(个位数6),2?=32(个位数2)。周(zhou)期也是4：2,4,8,6。3的幂的个位数：3?=3,3?=9,3?=27(个位数7),3?=81(个位数1),3?=243(个位数3)。

周期也是4：3,9,7,1。4的幂的个位数：4?=4,4?=16(个位数6),4?=64(个位数(shu)4)。周期是2：4,6。5的幂的个位数(shu)：5?=5,5?=25(个位数5)。周期是(shi)1：5。6的幂的个位数：6?=6,6?=36(个(ge)位数6)。

周期是1：6。8的幂的个位数：8?=8,8?=64(个位数4),8?=512(个位数2),8?=4096(个位数(shu)6),8?=32768(个位数8)。周期是4：8,4,2,6。9的幂的个位数(shu)：9?=9,9?=81(个位数1),9?=729(个位数9)。

周期是2：9,1。0、1的幂的个位数：0的任何正整数次幂都是0，1的任何正整数次幂都是1。

看(kan)到了吧？不同的数字，有着不同的“性格”和“规律”。有些数字，比如0和1，非(fei)常“专一”，它们的个位数永远不变(bian)。有些数字，比如(ru)7和3，则有着“四海游历”的循环，每四个步骤就回到(dao)原点。而有些数字，比如4和9，则更加“简洁”，只需要两个步骤就完成一轮(lun)循环。

这种对数字规律的探索，不(bu)仅仅停留在理论层面，它(ta)能够激发我们解(jie)决实际问题的能力。试想一下，在工程计算、计算机科学、甚至密码学中，对大数(shu)运算(suan)的估算和规律的利用都是至关重(zhong)要(yao)的。虽然(ran)我们这里讨论的7的32次方是个位(wei)数，但在更广阔的(de)领域，对大数性质的理解，能够(gou)大大提高效率，甚(shen)至实现不可能的任务。

对(dui)于学生们来说，掌(zhang)握(wo)这种寻找规律、利用规律的方法，是打开数学之门的一把金钥匙。它能(neng)让枯燥的计算变得有(you)趣，让抽象的概念变得生动。从“7x7x7x…x7（32个7相乘）积的个位数字是几”这样的问题出发，我们可以引申出更多关于数字周期性的探索，甚至可以尝试自(zi)己创造数字谜题，与同(tong)学朋友一起挑战。

数学的魅力，就在于它的普遍适用性和无限的创造性。通过对一个看似简单(dan)的问题的深入剖析，我们不(bu)仅得(de)到了一个确切的答案，更重要的是，我们学习到了一种解决问题的方法，一种观察世界的视角。7的32次方，这(zhe)个数(shu)字本身可能看起来巨大无比，但通过规律的“化繁为简”，它最终展现出(chu)了一个简洁而优雅(ya)的个位数。

这正是(shi)数学所能给予我们的，一(yi)种驾驭复杂、发现(xian)规律(lv)、享受智慧的乐趣。所以，下次遇到(dao)类(lei)似的数字挑战，不妨大胆地去探(tan)索，去发现，去享受那个“aha!”的时刻吧！

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图片来源：每经记者 阮国芳 摄

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